इस तथ्य के बावजूद कि अलेक्जेंड्रिया के हेरोन के बारे में, जो पहली शताब्दी ईस्वी में रहते थे। इ। बहुत कम ज्ञात है. लेकिन उन कार्यों के आधार पर भी जो हमारे सामने आए हैं, हम विश्वास के साथ कह सकते हैं कि अलेक्जेंड्रिया के हेरॉन सबसे महान प्राचीन यूनानी गणितज्ञ और प्रतिभाशाली इंजीनियर थे। जो लोग मंदिर में आए वे अपने आप खुलने वाले दरवाजों से अवर्णनीय रूप से प्रसन्न और आश्चर्यचकित हुए; एक वेंडिंग मशीन जो एक सिक्के के बदले पवित्र जल देती थी। हेरोन को भाप टरबाइन, बन्दूक क्रॉसबो, स्वचालित थिएटर और बहुत कुछ का आविष्कार करने का श्रेय दिया जाता है। दुर्भाग्य से, उनके सभी आविष्कारों को अनुप्रयोग नहीं मिला। हेरॉन के सम्मान में एक गणितीय सूत्र का नाम रखा गया, जो किसी त्रिभुज की भुजाओं के आकार के आधार पर उसके क्षेत्रफल की गणना करना संभव बनाता है। त्रिभुज एक ज्यामितीय आकृति है जो खंडों का उपयोग करके तीन बिंदुओं को जोड़कर प्राप्त की जाती है जो एक ही सीधी रेखा पर स्थित नहीं हैं। इन बिंदुओं को आमतौर पर शीर्ष कहा जाता है, और खंडों को त्रिभुज की भुजाएँ कहा जाता है। यदि सभी भुजाओं का मान ज्ञात है, तो हेरोन के सूत्र का उपयोग करके, आप सूत्र का उपयोग करके त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना कर सकते हैं:

जहां डी ए, बी, सी त्रिभुज की भुजाओं के आकार हैं, और पी अर्ध-परिधि है, जो 2 से विभाजित तीन भुजाओं के योग के बराबर है।

हेरोन ने उन त्रिभुजों पर विचार किया जिनकी भुजाएँ पूर्णांक थीं, तदनुसार, त्रिभुजों के क्षेत्रफल पूर्णांक थे; इन त्रिभुजों को बगुला त्रिभुज कहा जाता है।

यह सूत्र आपको किसी त्रिभुज की भुजाओं a, b और c के आधार पर उसके क्षेत्रफल की गणना करने की अनुमति देता है:
S=√(р(р-а)(р-b)(р-с),जहाँ p त्रिभुज का अर्ध-परिधि है, अर्थात्। पी = (ए + बी + सी)/2.
इस सूत्र का नाम प्राचीन यूनानी गणितज्ञ हेरॉन ऑफ अलेक्जेंड्रिया (लगभग पहली शताब्दी) के नाम पर रखा गया है। हेरोन ने पूर्णांक भुजाओं वाले त्रिभुजों पर विचार किया जिनका क्षेत्रफल भी पूर्णांक होता है। ऐसे त्रिभुजों को हेरोनियन त्रिभुज कहा जाता है। उदाहरण के लिए, ये 13, 14, 15 या 51, 52, 53 भुजाओं वाले त्रिभुज हैं।

चतुर्भुजों के लिए हेरोन के सूत्र के अनुरूप हैं। इस तथ्य के कारण कि एक चतुर्भुज को उसकी भुजाओं a, b, c और d के अनुदिश बनाने की समस्या के एक से अधिक समाधान हैं, सामान्य स्थिति में चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, केवल लंबाई जानना पर्याप्त नहीं है पक्षों का. आपको अतिरिक्त पैरामीटर दर्ज करने होंगे या प्रतिबंध लगाना होगा। उदाहरण के लिए, एक उत्कीर्ण चतुर्भुज का क्षेत्रफल सूत्र द्वारा पाया जाता है: S=√(р-а)(р-b)(р-с)(p-d)

यदि एक चतुर्भुज एक ही समय में अंकित और परिचालित दोनों है, तो इसका क्षेत्रफल है एक सरल सूत्र का उपयोग करना: S=√(abcd).

अलेक्जेंड्रिया का बगुला - यूनानी गणितज्ञ और मैकेनिक।

वह स्वचालित दरवाजे, एक स्वचालित कठपुतली थिएटर, एक वेंडिंग मशीन, एक रैपिड-फायर सेल्फ-लोडिंग क्रॉसबो, एक भाप टरबाइन, स्वचालित सजावट, सड़कों की लंबाई मापने के लिए एक उपकरण (एक प्राचीन ओडोमीटर) आदि का आविष्कार करने वाले पहले व्यक्ति थे। वह प्रोग्राम करने योग्य डिवाइस (पिन वाला एक शाफ्ट जिसके चारों ओर रस्सी का घाव होता है) बनाने वाले पहले व्यक्ति थे।

उन्होंने ज्यामिति, यांत्रिकी, हाइड्रोस्टैटिक्स और प्रकाशिकी का अध्ययन किया। मुख्य कार्य: मेट्रिक्स, न्यूमेटिक्स, ऑटोमेटोपोएटिक्स, मैकेनिक्स (कार्य पूरी तरह से अरबी अनुवाद में संरक्षित है), कैटोप्ट्रिक्स (दर्पण का विज्ञान; केवल लैटिन अनुवाद में संरक्षित), आदि। 1814 में, हेरॉन का निबंध "ऑन डायोप्टर" पाया गया था, जो भूमि सर्वेक्षण के नियम निर्धारित करता है, जो वास्तव में आयताकार निर्देशांक के उपयोग पर आधारित है। हेरॉन ने अपने पूर्ववर्तियों की उपलब्धियों का उपयोग किया: यूक्लिड, आर्किमिडीज़, लैम्पसैकस के स्ट्रैटो। उनकी कई किताबें हमेशा के लिए खो गई हैं (स्क्रॉल अलेक्जेंड्रिया की लाइब्रेरी में रखे गए थे)।

हेरॉन ने अपने ग्रंथ "मैकेनिक्स" में पांच प्रकार की सरल मशीनों का वर्णन किया है: लीवर, गेट, वेज, स्क्रू और ब्लॉक।

अपने ग्रंथ "न्यूमेटिक्स" में हेरॉन ने विभिन्न साइफन, चतुराई से डिजाइन किए गए जहाजों और संपीड़ित हवा या भाप द्वारा संचालित ऑटोमेटा का वर्णन किया है। यह एक एओलिपिल है, जो पहली भाप टरबाइन थी - जल वाष्प के जेट के बल से घूमती हुई एक गेंद; दरवाजे खोलने के लिए एक मशीन, "पवित्र" पानी बेचने के लिए एक मशीन, एक अग्नि पंप, एक जल अंग, एक यांत्रिक कठपुतली थियेटर।

"डायोप्टर के बारे में" पुस्तक में डायोप्टर का वर्णन किया गया है - जो कि जियोडेटिक कार्य के लिए उपयोग किया जाने वाला सबसे सरल उपकरण है। हेरॉन ने अपने ग्रंथ में आयताकार निर्देशांक के उपयोग के आधार पर भूमि सर्वेक्षण के नियम निर्धारित किए हैं।

कैटोप्ट्रिक्स में, हेरोन प्रसार की असीम उच्च गति के साथ प्रकाश किरणों की सीधीता की पुष्टि करता है। हेरोन विभिन्न प्रकार के दर्पणों पर विचार करता है, बेलनाकार दर्पणों पर विशेष ध्यान देता है।

हेरॉन की "मेट्रिक्स" और उससे निकाली गई "जियोमेट्रिक्स" और "स्टीरियोमेट्रिक्स" व्यावहारिक गणित पर संदर्भ पुस्तकें हैं। मेट्रिका में निहित जानकारी में:

नियमित बहुभुजों के क्षेत्रफलों के लिए सूत्र.


नियमित पॉलीहेड्रा, पिरामिड, शंकु, काटे गए शंकु, टोरस, गोलाकार खंड के आयतन।


किसी त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई से उसके क्षेत्रफल की गणना करने के लिए हेरॉन का सूत्र (आर्किमिडीज़ द्वारा खोजा गया)।


द्विघात समीकरणों के संख्यात्मक समाधान के नियम।


वर्ग और घन मूल निकालने के लिए एल्गोरिदम।

हेरॉन की पुस्तक "परिभाषाएँ" ज्यामितीय परिभाषाओं का एक व्यापक संग्रह है, जिसका अधिकांश भाग यूक्लिड के "तत्वों" की परिभाषाओं से मेल खाता है।

प्रारंभिक जानकारी

सबसे पहले, आइए उस जानकारी और नोटेशन का परिचय दें जिसकी हमें बाद में आवश्यकता होगी।

हम न्यूनकोण $A$ और $C$ वाले त्रिभुज $ABC$ पर विचार करेंगे। आइए इसमें ऊंचाई $BH$ बनाएं। आइए निम्नलिखित संकेतन प्रस्तुत करें: $AB=c,\ BC=a,\ $$AC=b,\ AH=x,\ BH=h\ $(चित्र 1)।

चित्र 1।

आइए बिना प्रमाण के एक त्रिभुज के क्षेत्रफल पर प्रमेय का परिचय दें।

प्रमेय 1

किसी त्रिभुज का क्षेत्रफल उसकी भुजा की लंबाई और उस पर खींची गई ऊंचाई के आधे गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है, अर्थात

बगुला का सूत्र

आइए हम तीन ज्ञात भुजाओं से त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के बारे में एक प्रमेय प्रस्तुत करें और सिद्ध करें। इस सूत्र को कहा जाता है बगुले के सूत्र.

प्रमेय 2

आइए हमें एक त्रिभुज की तीन भुजाएँ $a,\ b\ और\ c$ दी गई हैं। तब इस त्रिभुज का क्षेत्रफल इस प्रकार व्यक्त किया जाता है

जहां $p$ दिए गए त्रिभुज का अर्ध-परिधि है।

सबूत।

हम चित्र 1 में प्रस्तुत संकेतन का उपयोग करेंगे।

त्रिभुज $ABH$ पर विचार करें। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, हमें मिलता है

यह स्पष्ट है कि $HC=AC-AH=b-x$

त्रिभुज $\CBH$ पर विचार करें। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, हमें मिलता है

\ \ \

आइए हम दो प्राप्त अनुपातों से वर्ग ऊंचाई के मानों की बराबरी करें

\ \ \

पहली समानता से हम ऊँचाई ज्ञात करते हैं

\ \ \ \ \ \

चूँकि अर्ध-परिधि $p=\frac(a+b+c)(2)$ के बराबर है, यानी, $a+b+c=2p$, तो

\ \ \ \

प्रमेय 1 से, हम पाते हैं

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

हेरॉन के सूत्र का उपयोग करके समस्याओं के उदाहरण

उदाहरण 1

एक त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें यदि इसकी भुजाएँ $3$ सेमी, $6$ सेमी और $7$ सेमी हैं।

समाधान।

आइए सबसे पहले इस त्रिभुज का अर्ध-परिधि ज्ञात करें

प्रमेय 2 से, हम पाते हैं

उत्तर:$4\sqrt(5)$.

पाठ सारांश

विषय: "हेरॉन का सूत्र और त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए अन्य सूत्र।"

पाठ का प्रकार : नए ज्ञान की खोज में एक सबक।

कक्षा: 10.

पाठ मकसद: पाठ के दौरान, त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना के लिए सूत्रों की सचेत पुनरावृत्ति सुनिश्चित करें, जिनका अध्ययन स्कूल पाठ्यक्रम में किया जाता है। आयताकार समन्वय प्रणाली में दिए गए त्रिभुज के क्षेत्रफल के सूत्र, हेरॉन के सूत्र II को जानने की आवश्यकता दिखाएं। समस्याओं को हल करते समय इन सूत्रों को सचेत रूप से आत्मसात करना और लागू करना सुनिश्चित करें।

कार्य:

शैक्षिक: तार्किक सोच का विकास, शैक्षिक समस्याओं को स्वतंत्र रूप से हल करने की क्षमता; विकास जिज्ञासाछात्रों, विषय में संज्ञानात्मक रुचि; छात्रों की रचनात्मक सोच और गणितीय भाषण का विकास;

शैक्षिक: गणित में रुचि का पोषण करना; के लिए परिस्थितियाँ बनानाव्यक्ति के संचार कौशल और दृढ़ इच्छाशक्ति वाले गुणों का निर्माण।

शैक्षिक: ज्ञान को गहरा करनावास्तविक संख्या का वां मापांक; विशिष्ट समस्याओं को हल करने की क्षमता सिखाएं।

सार्वभौमिक शिक्षण गतिविधियाँ:

निजी: व्यक्ति और उसकी गरिमा के प्रति सम्मान; स्थायी संज्ञानात्मक रुचि; समान संबंधों और आपसी सम्मान के आधार पर बातचीत करने की क्षमता।

नियामक: पाठ में गतिविधियों के लिए लक्ष्य निर्धारित करें; लक्ष्य प्राप्त करने के तरीकों की योजना बनाएं; किसी समस्या की स्थिति में बातचीत के आधार पर निर्णय लें।

संज्ञानात्मक: वी समस्याओं को हल करने, कार्य करने और गणना करने की सामान्य तकनीकों में महारत हासिल करना; वास्तविक संख्या मापांक गुणों के उपयोग के आधार पर कार्य करना।

संचारी: ए किसी की गतिविधियों की योजना बनाने और उन्हें विनियमित करने के लिए भाषण का पर्याप्त रूप से उपयोग करें; अपनी राय स्वयं बनाएं.

तकनीकी समर्थन : कंप्यूटर, प्रोजेक्टर, इंटरैक्टिव व्हाइटबोर्ड।

पाठ संरचना

प्रेरक चरण - 2 मिनट।

होमवर्क - 1 मिनट।

प्रस्तावित विषय पर ज्ञान अद्यतन करने और पहली परीक्षण कार्रवाई करने का चरण - 10 मिनट।

कठिनाइयों की पहचान करना: नई सामग्री की जटिलता क्या है, वास्तव में समस्या क्या पैदा करती है, विरोधाभासों की खोज - 4 मिनट।

एक परियोजना का विकास, उनकी मौजूदा कठिनाइयों को दूर करने की योजना, कई विकल्पों पर विचार, इष्टतम समाधान की खोज - 2 मिनट।

कठिनाई को हल करने के लिए चुनी गई योजना का कार्यान्वयन - 5 मिनट।

नए ज्ञान का प्राथमिक समेकन - 10 मिनट।

स्वतंत्र कार्य और एक मानक के विरुद्ध जाँच - 5 मिनट।

चिंतन, जिसमें सीखने की गतिविधियों पर चिंतन, आत्म-विश्लेषण और भावनाओं और संवेगों पर चिंतन शामिल है - 1 मिनट।

कक्षाओं के दौरान.

प्रेरक चरण.

नमस्ते दोस्तों, बैठिए। आज हमारा पाठ निम्नलिखित योजना का पालन करेगा: पाठ के दौरान हम एक नए विषय का अध्ययन करेंगे: " त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए हेरॉन का सूत्र और अन्य सूत्र "; आइए उन सूत्रों को दोहराएँ जो आप जानते हैं; आइए जानें कि समस्याओं को हल करते समय इन सूत्रों को कैसे लागू किया जाए। तो चलिए काम पर लग जाएं।

प्रस्तावित विषय पर ज्ञान को अद्यतन करने और पहली परीक्षण कार्रवाई करने का चरण।

स्लाइड 1.

पाठ का विषय लिखिए. सूत्रों पर सीधे आगे बढ़ने से पहले, आइए याद रखें कि त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना के लिए आप कौन से सूत्र जानते हैं?

स्लाइड 2.

ये सूत्र लिखिए.

त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना के लिए आप कौन से सूत्र जानते हैं?(छात्र अपने सीखे हुए सभी फॉर्मूले याद करते हैं)

स्लाइड 3.

एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल. एस=अब. सूत्र लिखिए

स्लाइड 4.

किसी त्रिभुज का क्षेत्रफल. एस= ए . ए = , = सूत्र लिखिए.

स्लाइड 5. दो भुजाओं और उनके बीच के कोण पर आधारित त्रिभुज का क्षेत्रफल।

S=½·ab·sinα. सूत्र लिखिए.

अब हम क्षेत्रफल ज्ञात करने के नये सूत्रों का अध्ययन करेंगे।

स्लाइड 6.

एक त्रिभुज का क्षेत्रफल अंकित वृत्त की त्रिज्या के संदर्भ में। एस= पी आर. सूत्र लिखिए.

स्लाइड 7.

परिवृत्त की R-त्रिज्या के संदर्भ में एक त्रिभुज का क्षेत्रफल।

सूत्र लिखिए.

स्लाइड 8.

बगुला का सूत्र.

प्रमाण शुरू करने से पहले, आइए ज्यामिति के दो प्रमेय याद रखें - साइन का प्रमेय और कोसाइन का प्रमेय।

1. , a=2R; बी=2आर; सी=2आर

2., क्योंकिγ = .

स्लाइड 9-10

बगुला सूत्र का प्रमाण. सूत्र लिखिए.

स्लाइड 11.

तीन भुजाओं पर आधारित त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र तीसरी शताब्दी ईसा पूर्व में आर्किमिडीज़ द्वारा खोजा गया था। हालाँकि, संबंधित कार्य हमारे दिनों तक नहीं पहुंचा है। यह सूत्र अलेक्जेंड्रिया के हेरॉन (पहली शताब्दी ईस्वी) के "मेट्रिक्स" में निहित है और इसका नाम उनके नाम पर रखा गया है। हेरोन की रुचि पूर्णांक भुजाओं वाले त्रिभुजों में थी जिनका क्षेत्रफल भी पूर्णांक होता है। ऐसे त्रिभुजों को हेरोनियन त्रिभुज कहा जाता है। सबसे सरल हेरोनियन त्रिभुज मिस्र का त्रिभुज है

कठिनाई की पहचान करना: नई सामग्री की जटिलता क्या है, वास्तव में समस्या क्या पैदा करती है, विरोधाभास की खोज करना।

स्लाइड 12.

दी गई भुजाओं वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें: 4,6,8। क्या समस्या का समाधान करने के लिए पर्याप्त जानकारी है? इस समस्या को हल करने के लिए आप किस सूत्र का उपयोग कर सकते हैं?

एक परियोजना का विकास, उनकी मौजूदा कठिनाइयों को हल करने की योजना, कई विकल्पों पर विचार, एक इष्टतम समाधान की खोज।

इस समस्या को हेरोन सूत्र का उपयोग करके हल किया जा सकता है। सबसे पहले, आपको त्रिभुज का अर्ध-परिधि ज्ञात करना होगा, और फिर परिणामी मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करना होगा।

कठिनाई को हल करने के लिए चुनी गई योजना का कार्यान्वयन।

पी ढूँढना

पी=(13+14+15)/2=21

पी- ए=21-13=8

पी-बी=21-14=7

पी-सी=21-15=6

एस = 21*8*7*6=84

उत्तर :84

कार्य क्रमांक 2

त्रिभुज की भुजाएँ ज्ञात कीजिएएबीसी, यदि त्रिभुजों का क्षेत्रफलएबीओ, बी.सी.ओ, एसीओ, जहां O अंकित वृत्त का केंद्र है, 17,65,80 dc के बराबर है 2 .

समाधान:

एस=17+65+80=162 - त्रिभुजों का क्षेत्रफल जोड़ें। सूत्र के अनुसार

एस एबीओ =1/2 अब* आर, इसलिए 17=1/2अब* आर; 65=1/2वीसी* आर; 80=1/2 एसी।* आर

34/आर=एबी; 130/आर=बीसी; 160/आर=एसी

पी खोजें

पी= (34+130+160)/2=162/ आर

(आर-ए)=162-34=128 (आर- सी)=162-160=2

(आर- बी)=162-130=32

हेरॉन के फार्मूले के अनुसारएस=  128/ आर*2/ आर*32/ आर*162/ आर=256*5184/ आर 4 =1152/ आर 2

क्योंकि एस=162, इसलिएआर =  1152/162=3128/18

उत्तर: एबी=34/3128/18, बीसी=130/3128/18, एसी=160/3128/18।

नए ज्ञान का प्राथमिक समेकन।

№10(1)

दी गई भुजाओं वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:

№12

मानक के विरुद्ध स्वतंत्र कार्य और परीक्षण।

№10.(2)

गृहकार्य . पी.83, क्रमांक 10(3), क्रमांक 15

चिंतन, जिसमें शैक्षिक गतिविधियों पर चिंतन, आत्मनिरीक्षण और भावनाओं और संवेगों पर चिंतन शामिल है।

आज आपने कौन से सूत्र दोहराए?

आज आपने कौन से सूत्र सीखे?