>>गणित: रैखिक कार्य और उसका ग्राफ

रैखिक फलन और उसका ग्राफ़

समीकरण ax + by + c = 0 का ग्राफ बनाने के लिए एल्गोरिदम, जिसे हमने § 28 में तैयार किया था, इसकी सभी स्पष्टता और निश्चितता के बावजूद, गणितज्ञ वास्तव में पसंद नहीं करते हैं। वे आम तौर पर एल्गोरिदम के पहले दो चरणों के बारे में दावे करते हैं। वे कहते हैं, वेरिएबल y के लिए समीकरण को दो बार हल क्यों करें: पहले ax1 + by + c = O, फिर ax1 + by + c = O? क्या समीकरण ax + से + c = 0 से y को तुरंत व्यक्त करना बेहतर नहीं है, तो गणना करना आसान हो जाएगा (और, सबसे महत्वपूर्ण, तेजी से)? की जाँच करें। आइए पहले विचार करें समीकरण 3x - 2y + 6 = 0 (§ 28 से उदाहरण 2 देखें)।

x विशिष्ट मान देकर, संगत y मानों की गणना करना आसान है। उदाहरण के लिए, x = 0 के लिए हमें y = 3 मिलता है; x = -2 पर हमारे पास y = 0 है; x = 2 के लिए हमारे पास y = 6 है; x = 4 के लिए हमें मिलता है: y = 9.

आप देखते हैं कि अंक (0; 3), (- 2; 0), (2; 6) और (4; 9) कितनी आसानी से और जल्दी से पाए गए, जिन्हें § 28 से उदाहरण 2 में हाइलाइट किया गया था।

उसी तरह, समीकरण bx - 2y = 0 (§ 28 से उदाहरण 4 देखें) को 2y = 16 -3x के रूप में बदला जा सकता है। आगे y = 2.5x; इस समीकरण को संतुष्ट करने वाले बिंदु (0; 0) और (2; 5) खोजना मुश्किल नहीं है।

अंत में, उसी उदाहरण से समीकरण 3x + 2y - 16 = 0 को 2y = 16 -3x के रूप में बदला जा सकता है और फिर इसे संतुष्ट करने वाले बिंदु (0; 0) और (2; 5) ढूंढना मुश्किल नहीं है।

आइए अब इन परिवर्तनों पर सामान्य रूप में विचार करें।

इस प्रकार, दो चर x और y वाले रैखिक समीकरण (1) को हमेशा रूप में बदला जा सकता है
y = kx + m,(2) जहां k,m संख्याएं (गुणांक) हैं, और।

हम इस विशेष प्रकार के रैखिक समीकरण को एक रैखिक फलन कहेंगे।

समानता (2) का उपयोग करके, एक विशिष्ट x मान निर्दिष्ट करना और संबंधित y मान की गणना करना आसान है। उदाहरण के लिए, चलो

y = 2x + 3. फिर:
यदि x = 0, तो y = 3;
यदि x = 1, तो y = 5;
यदि x = -1, तो y = 1;
यदि x = 3, तो y = 9, आदि।

आमतौर पर ये परिणाम फॉर्म में प्रस्तुत किए जाते हैं टेबल:

तालिका की दूसरी पंक्ति से y के मानों को क्रमशः x = 0, x = 1, x = -1, x = - बिंदुओं पर रैखिक फ़ंक्शन y = 2x + 3 के मान कहा जाता है। 3.

समीकरण (1) में चर hnu समान हैं, लेकिन समीकरण (2) में वे नहीं हैं: हम उनमें से एक - चर x को विशिष्ट मान निर्दिष्ट करते हैं, जबकि चर y का मान चर x के चयनित मान पर निर्भर करता है। इसलिए, हम आमतौर पर कहते हैं कि x स्वतंत्र चर (या तर्क) है, y आश्रित चर है।

ध्यान दें कि एक रैखिक फलन दो चरों वाला एक विशेष प्रकार का रैखिक समीकरण है। समीकरण ग्राफ y - kx + m, दो चर वाले किसी भी रैखिक समीकरण की तरह, एक सीधी रेखा है - इसे रैखिक फलन y = kx + m का ग्राफ़ भी कहा जाता है। इस प्रकार, निम्नलिखित प्रमेय मान्य है।

उदाहरण 1।रैखिक फलन y = 2x + 3 का ग्राफ बनाएं।

समाधान। आइए एक तालिका बनाएं:

दूसरी स्थिति में, स्वतंत्र चर x, जो पहली स्थिति की तरह, दिनों की संख्या को दर्शाता है, केवल 1, 2, 3, ..., 16 मान ले सकता है। वास्तव में, यदि x = 16, फिर सूत्र y = 500 - 30x का उपयोग करके हम पाते हैं: y = 500 - 30 16 = 20। इसका मतलब है कि 17वें दिन पहले से ही गोदाम से 30 टन कोयला निकालना संभव नहीं होगा, क्योंकि इस दिन तक केवल 20 टन गोदाम में ही रह जायेगा और कोयला निकालने की प्रक्रिया रोकनी पड़ेगी। इसलिए, दूसरी स्थिति का परिष्कृत गणितीय मॉडल इस तरह दिखता है:

y = 500 - ZOD:, जहां x = 1, 2, 3, .... 16.

तीसरी स्थिति में स्वतंत्र चर x सैद्धांतिक रूप से कोई भी गैर-नकारात्मक मान ले सकता है (उदाहरण के लिए, x मान = 0, x मान = 2, x मान = 3.5, आदि), लेकिन व्यावहारिक रूप से एक पर्यटक किसी भी मात्रा में नींद और आराम के बिना स्थिर गति से नहीं चल सकता है। समय की । इसलिए हमें x, मान लीजिए 0, पर उचित प्रतिबंध लगाने की आवश्यकता है< х < 6 (т. е. турист идет не более 6 ч).

याद रखें कि गैर-सख्त दोहरी असमानता का ज्यामितीय मॉडल 0 है< х < 6 служит отрезок (рис. 37). Значит, уточненная модель третьей ситуации выглядит так: у = 15 + 4х, где х принадлежит отрезку .

आइए हम वाक्यांश के बजाय "x सेट एक्स से संबंधित है" लिखने के लिए सहमत हों (पढ़ें: "तत्व एक्स सेट एक्स से संबंधित है", ई सदस्यता का संकेत है)। जैसा कि आप देख सकते हैं, गणितीय भाषा से हमारा परिचय लगातार जारी है।

यदि रैखिक फ़ंक्शन y = kx + m को x के सभी मानों के लिए नहीं, बल्कि केवल एक निश्चित संख्यात्मक अंतराल X से x के मानों के लिए माना जाना चाहिए, तो वे लिखते हैं:

उदाहरण 2. एक रैखिक फलन का रेखांकन करें:

समाधान, ए) आइए रैखिक फलन y = 2x + 1 के लिए एक तालिका बनाएं

आइए xOy निर्देशांक तल पर बिंदु (-3; 7) और (2; -3) बनाएं और उनके माध्यम से एक सीधी रेखा खींचें। यह समीकरण y = -2x: + 1 का एक ग्राफ है। इसके बाद, निर्मित बिंदुओं को जोड़ने वाले एक खंड का चयन करें (चित्र 38)। यह खंड रैखिक फलन y = -2x+1 का ग्राफ है, जहां xe [-3, 2] है।

वे आमतौर पर यह कहते हैं: हमने खंड [- 3, 2] पर एक रैखिक फलन y = - 2x + 1 आलेखित किया है।

ख) यह उदाहरण पिछले उदाहरण से किस प्रकार भिन्न है? रैखिक फलन समान है (y = -2x + 1), जिसका अर्थ है कि वही सीधी रेखा इसके ग्राफ के रूप में कार्य करती है। लेकिन सावधान रहना! - इस बार x e (-3, 2), यानी मान x = -3 और x = 2 पर विचार नहीं किया जाता है, वे अंतराल (- 3, 2) से संबंधित नहीं हैं। हमने निर्देशांक रेखा पर अंतराल के सिरों को कैसे चिह्नित किया? प्रकाश वृत्त (चित्र 39), हमने इसके बारे में 26 में बात की थी। इसी प्रकार, बिंदु (- 3; 7) और बी; - 3) ड्राइंग पर हल्के वृत्तों से अंकित करना होगा। यह हमें याद दिलाएगा कि रेखा y = - 2x + 1 के केवल वे बिंदु लिए गए हैं जो वृत्तों से चिह्नित बिंदुओं के बीच स्थित हैं (चित्र 40)। हालाँकि, कभी-कभी ऐसे मामलों में वे प्रकाश वृत्तों के बजाय तीरों का उपयोग करते हैं (चित्र 41)। यह मौलिक नहीं है, मुख्य बात यह समझना है कि क्या कहा जा रहा है।

उदाहरण 3.खंड पर एक रैखिक फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ज्ञात करें।
समाधान। आइए एक रैखिक फलन के लिए एक तालिका बनाएं

आइए xOy निर्देशांक तल पर बिंदु (0; 4) और (6; 7) बनाएं और उनके माध्यम से एक सीधी रेखा खींचें - रैखिक x फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ (चित्र 42)।

हमें इस रैखिक फ़ंक्शन पर संपूर्ण रूप से नहीं, बल्कि एक खंड पर विचार करने की आवश्यकता है, अर्थात x e के लिए।

ग्राफ़ के संबंधित खंड को ड्राइंग में हाइलाइट किया गया है। हम ध्यान दें कि चयनित भाग से संबंधित बिंदुओं का सबसे बड़ा कोटि 7 के बराबर है - यह खंड पर रैखिक फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मूल्य है। आमतौर पर निम्नलिखित संकेतन का उपयोग किया जाता है: y अधिकतम =7।

हम ध्यान दें कि चित्र 42 में हाइलाइट की गई रेखा के भाग से संबंधित बिंदुओं का सबसे छोटा कोटि 4 के बराबर है - यह खंड पर रैखिक फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान है।
आमतौर पर निम्नलिखित संकेतन का उपयोग किया जाता है: y नाम। =4.

उदाहरण 4.वाई नाइब और वाई नईम खोजें। एक रैखिक फलन y = -1.5x + 3.5 के लिए

क) खंड पर; बी) अंतराल पर (1.5);
ग) आधे अंतराल पर.

समाधान। आइए रैखिक फलन y = -l.5x + 3.5 के लिए एक तालिका बनाएं:

आइए xOy निर्देशांक तल पर बिंदु (1; 2) और (5; - 4) बनाएं और उनके माध्यम से एक सीधी रेखा खींचें (चित्र 43-47)। आइए निर्मित सीधी रेखा पर खंड (चित्र 43), अंतराल ए, 5) (चित्र 44), आधे-अंतराल (चित्र 47) से x मानों के अनुरूप भाग का चयन करें।

ए) चित्र 43 का उपयोग करके, यह निष्कर्ष निकालना आसान है कि y अधिकतम = 2 (रैखिक फ़ंक्शन x = 1 पर इस मान तक पहुंचता है), और y मिनट। = - 4 (रैखिक फलन x = 5 पर इस मान तक पहुंचता है)।

बी) चित्र 44 का उपयोग करते हुए, हम निष्कर्ष निकालते हैं: इस रैखिक फ़ंक्शन का किसी दिए गए अंतराल पर न तो सबसे बड़ा और न ही सबसे छोटा मान है। क्यों? तथ्य यह है कि, पिछले मामले के विपरीत, खंड के दोनों छोर, जिसमें सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्य तक पहुंच गए थे, को विचार से बाहर रखा गया है।

ग) चित्र 45 का उपयोग करके, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि y अधिकतम। = 2 (जैसा कि पहले मामले में), और रैखिक फ़ंक्शन का कोई न्यूनतम मान नहीं है (जैसा कि दूसरे मामले में)।

डी) चित्र 46 का उपयोग करते हुए, हम निष्कर्ष निकालते हैं: y अधिकतम = 3.5 (रैखिक फ़ंक्शन x = 0 पर इस मान तक पहुंचता है), और y अधिकतम। मौजूद नहीं होना।

ई) चित्र 47 का उपयोग करते हुए, हम निष्कर्ष निकालते हैं: y अधिकतम = -1 (रैखिक फ़ंक्शन x = 3 पर इस मान तक पहुंचता है), और y अधिकतम मौजूद नहीं है।

उदाहरण 5. एक रैखिक फलन का आलेख बनाएँ

y = 2x - 6. निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर देने के लिए ग्राफ़ का उपयोग करें:

a) x के किस मान पर y = 0 होगा?
ख) x के किन मानों के लिए y > 0 होगा?
ग) x के किन मानों पर y होगा< 0?

समाधान आइए रैखिक फलन y = 2x-6 के लिए एक तालिका बनाएं:

बिंदुओं (0; - 6) और (3; 0) से होकर हम एक सीधी रेखा खींचते हैं - फ़ंक्शन का ग्राफ y = 2x - 6 (चित्र 48)।

a) y = 0 x = 3 पर। ग्राफ x अक्ष को बिंदु x = 3 पर काटता है, यह कोटि y = 0 वाला बिंदु है।
बी) x > 3 के लिए y > 0। वास्तव में, यदि x > 3, तो सीधी रेखा x अक्ष के ऊपर स्थित है, जिसका अर्थ है कि सीधी रेखा के संबंधित बिंदुओं के निर्देशांक सकारात्मक हैं।

बिल्ली< 0 при х < 3. В самом деле если х < 3, то прямая расположена ниже оси х, значит, ординаты соответствующих точек прямой отрицательны. A

कृपया ध्यान दें कि इस उदाहरण में हमने हल करने के लिए ग्राफ़ का उपयोग किया है:

ए) समीकरण 2x - 6 = 0 (हमें x = 3 मिला);
बी) असमानता 2x - 6 > 0 (हमें x > 3 मिला);
ग) असमानता 2x - 6< 0 (получили х < 3).

टिप्पणी। रूसी में, एक ही वस्तु को अक्सर अलग-अलग कहा जाता है, उदाहरण के लिए: "घर", "भवन", "संरचना", "कुटीर", "हवेली", "बैरक", "झोपड़ी", "झोपड़ी"। गणितीय भाषा में स्थिति लगभग वैसी ही है। मान लीजिए, दो चर y = kx + m के साथ एक समानता, जहां k, m विशिष्ट संख्याएं हैं, को एक रैखिक फ़ंक्शन कहा जा सकता है, इसे दो चर x और y (या दो अज्ञात x और y के साथ) के साथ एक रैखिक समीकरण कहा जा सकता है। इसे एक सूत्र कहा जा सकता है, इसे x और y को जोड़ने वाला संबंध कहा जा सकता है, अंततः इसे x और y के बीच निर्भरता कहा जा सकता है। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता, मुख्य बात यह समझना है कि सभी मामलों में हम गणितीय मॉडल y = kx + m के बारे में बात कर रहे हैं

.

चित्र 49 में दिखाए गए रैखिक फलन के ग्राफ़ पर विचार करें। यदि हम इस ग्राफ़ पर बाएँ से दाएँ चलते हैं, तो ग्राफ़ पर बिंदुओं के निर्देशांक हर समय बढ़ रहे हैं, जैसे कि हम "किसी पहाड़ी पर चढ़ रहे हों।" ऐसे मामलों में, गणितज्ञ वृद्धि शब्द का उपयोग करते हैं और यह कहते हैं: यदि k>0, तो रैखिक फलन y = kx + m बढ़ता है।

चित्र 49, बी में दिखाए गए रैखिक फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर विचार करें। यदि हम इस ग्राफ़ पर बाएँ से दाएँ चलते हैं, तो ग्राफ़ पर बिंदुओं की कोटि हर समय घटती जा रही है, मानो हम "किसी पहाड़ी से नीचे जा रहे हों।" ऐसे मामलों में, गणितज्ञ कमी शब्द का उपयोग करते हैं और यह कहते हैं: यदि k< О, то линейная функция у = kx + m убывает.

जीवन में रैखिक कार्य

आइए अब इस विषय को संक्षेप में प्रस्तुत करें। हम पहले से ही एक रैखिक फ़ंक्शन जैसी अवधारणा से परिचित हो चुके हैं, हम इसके गुणों को जानते हैं और ग्राफ़ बनाना सीख चुके हैं। इसके अलावा, आपने रैखिक कार्यों के विशेष मामलों पर विचार किया और सीखा कि रैखिक कार्यों के ग्राफ़ की सापेक्ष स्थिति किस पर निर्भर करती है। लेकिन यह पता चला है कि हम अपने रोजमर्रा के जीवन में भी लगातार इस गणितीय मॉडल का सामना करते रहते हैं।

आइए विचार करें कि रैखिक फलन जैसी अवधारणा के साथ वास्तविक जीवन की कौन सी स्थितियाँ जुड़ी हुई हैं? और यह भी कि किन राशियों या जीवन स्थितियों के बीच एक रैखिक संबंध स्थापित करना संभव है?

आप में से बहुत से लोग शायद यह नहीं समझ पा रहे हैं कि उन्हें रैखिक कार्यों का अध्ययन करने की आवश्यकता क्यों है, क्योंकि बाद के जीवन में इसके उपयोगी होने की संभावना नहीं है। लेकिन यहां आप गहराई से गलत हैं, क्योंकि हम हर समय और हर जगह कार्यों का सामना करते हैं। क्योंकि नियमित मासिक किराया भी एक ऐसा कार्य है जो कई चर पर निर्भर करता है। और इन चरों में वर्ग फ़ुटेज, निवासियों की संख्या, टैरिफ, बिजली का उपयोग आदि शामिल हैं।

निःसंदेह, रैखिक निर्भरता फलनों के सबसे आम उदाहरण जिनका हमने सामना किया है वे गणित के पाठों में हैं।

आपने और मैंने उन समस्याओं को हल किया जहां हमने पाया कि कारों, ट्रेनों या पैदल यात्रियों द्वारा एक निश्चित गति से तय की गई दूरी। ये गति समय के रैखिक कार्य हैं। लेकिन ये उदाहरण सिर्फ गणित में ही लागू नहीं होते, ये हमारी रोजमर्रा की जिंदगी में भी मौजूद हैं।

डेयरी उत्पादों की कैलोरी सामग्री वसा सामग्री पर निर्भर करती है, और ऐसी निर्भरता आमतौर पर एक रैखिक कार्य होती है। उदाहरण के लिए, जब खट्टा क्रीम में वसा का प्रतिशत बढ़ता है, तो उत्पाद की कैलोरी सामग्री भी बढ़ जाती है।

आइए अब गणना करें और समीकरणों की प्रणाली को हल करके k और b के मान ज्ञात करें:

आइए अब निर्भरता सूत्र प्राप्त करें:

परिणामस्वरूप, हमें एक रैखिक संबंध प्राप्त हुआ।

तापमान के आधार पर ध्वनि प्रसार की गति जानने के लिए, सूत्र का उपयोग करके पता लगाना संभव है: v = 331 +0.6t, जहां v गति है (m/s में), t तापमान है। यदि हम इस संबंध का ग्राफ बनाएं तो देखेंगे कि यह रैखिक होगा, अर्थात एक सीधी रेखा का प्रतिनिधित्व करेगा।

और रैखिक कार्यात्मक निर्भरता के अनुप्रयोग में ज्ञान के ऐसे व्यावहारिक उपयोगों को लंबे समय तक सूचीबद्ध किया जा सकता है। फ़ोन चार्ज से लेकर, बालों की लंबाई और वृद्धि, और यहां तक ​​कि साहित्य में कहावतें भी। और यह सूची लगातार बढ़ती जा रही है।

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ए. वी. पोगोरेलोव, ग्रेड 7-11 के लिए ज्यामिति, शैक्षणिक संस्थानों के लिए पाठ्यपुस्तक

एक रैखिक फलन की परिभाषा

आइए हम एक रैखिक फलन की परिभाषा का परिचय दें

परिभाषा

$y=kx+b$ के रूप का एक फ़ंक्शन, जहां $k$ शून्येतर है, एक रैखिक फ़ंक्शन कहलाता है।

एक रैखिक फलन का ग्राफ़ एक सीधी रेखा है। संख्या $k$ को रेखा का ढलान कहा जाता है।

जब $b=0$ रैखिक फ़ंक्शन को प्रत्यक्ष आनुपातिकता का फ़ंक्शन $y=kx$ कहा जाता है।

चित्र 1 पर विचार करें.

चावल। 1. रेखा की ढलान का ज्यामितीय अर्थ

त्रिभुज ABC पर विचार करें। हम देखते हैं कि $ВС=kx_0+b$. आइए $Ox$ अक्ष के साथ रेखा $y=kx+b$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें:

\ \

तो $AC=x_0+\frac(b)(k)$. आइए इन भुजाओं का अनुपात ज्ञात करें:

\[\frac(BC)(AC)=\frac(kx_0+b)(x_0+\frac(b)(k))=\frac(k(kx_0+b))((kx)_0+b)=k \]

दूसरी ओर, $\frac(BC)(AC)=tg\कोण A$.

इस प्रकार, हम निम्नलिखित निष्कर्ष निकाल सकते हैं:

निष्कर्ष

गुणांक $k$ का ज्यामितीय अर्थ। सीधी रेखा $k$ का कोणीय गुणांक $Ox$ अक्ष पर इस सीधी रेखा के झुकाव कोण के स्पर्शरेखा के बराबर है।

रैखिक फलन $f\left(x\right)=kx+b$ और उसके ग्राफ का अध्ययन

सबसे पहले, फ़ंक्शन $f\left(x\right)=kx+b$ पर विचार करें, जहां $k > 0$।

1. $f"\left(x\right)=(\left(kx+b\right))"=k>0$. नतीजतन, यह फ़ंक्शन परिभाषा के संपूर्ण क्षेत्र में बढ़ता है। कोई चरम बिंदु नहीं हैं.
2. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=-\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=+\infty $
3. ग्राफ़ (चित्र 2)।

चावल। 2. $k > 0$ के लिए फ़ंक्शन $y=kx+b$ के ग्राफ़।

अब फ़ंक्शन $f\left(x\right)=kx$ पर विचार करें, जहां $k

1. परिभाषा का क्षेत्र सभी संख्याएँ हैं।
2. मानों की श्रेणी सभी संख्याएँ हैं।
3. $f\left(-x\right)=-kx+b$. फलन न तो सम है और न ही विषम है।
4. $x=0 के लिए,f\left(0\right)=b$. जब $y=0.0=kx+b,\ x=-\frac(b)(k)$.

निर्देशांक अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु: $\left(-\frac(b)(k),0\right)$ और $\left(0,\ b\right)$

1. $f"\left(x\right)=(\left(kx\right))"=k
2. $f^("")\left(x\right)=k"=0$. इसलिए, फ़ंक्शन में कोई विभक्ति बिंदु नहीं है।
3. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=+\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=-\infty $
4. ग्राफ़ (चित्र 3)।

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