आइए उन सामान्य चीज़ों से शुरुआत करें जो बहुत महत्वपूर्ण हैं, लेकिन कम ही लोग उन पर ध्यान देते हैं।

किसी फ़ंक्शन की सीमा - बुनियादी अवधारणाएँ।

अनन्त का अर्थ हैप्रतीक। मूलतः, अनंत या तो एक असीम रूप से बड़ी सकारात्मक संख्या है या एक असीम रूप से बड़ी नकारात्मक संख्या है।

इसका क्या मतलब है: जब आप देखते हैं, तो इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि यह है या नहीं। लेकिन इसे इसके साथ न बदलना बेहतर है, ठीक वैसे ही जैसे इसे इसके साथ न बदलना बेहतर है।

किसी फ़ंक्शन की सीमा लिखेंएफ(एक्स) के रूप में लिया गया, तर्क x को नीचे दर्शाया गया है और, एक तीर के माध्यम से, यह किस मूल्य के लिए लक्ष्य कर रहा है।

यदि यह एक विशिष्ट वास्तविक संख्या है, तो हम बात करते हैं बिंदु पर फ़ंक्शन की सीमा.

मैं, के लिए । फिर वे बात करते हैं अनंत पर किसी फ़ंक्शन की सीमा.

सीमा स्वयं एक विशिष्ट वास्तविक संख्या के बराबर हो सकती है, जिस स्थिति में ऐसा कहा जाता है सीमा सीमित है.

अगर , या , तो वे ऐसा कहते हैं सीमा अनंत है.

ये भी कहते हैं कोई सीमा नही है, यदि सीमा का विशिष्ट मान या उसका अनंत मान (, या) निर्धारित करना असंभव है। उदाहरण के लिए, अनंत पर साइन की कोई सीमा नहीं है।

किसी फ़ंक्शन की सीमा - मूल परिभाषाएँ।

यह व्यस्त होने का समय है फ़ंक्शन सीमाओं के मान ज्ञात करनाअनंत पर और एक बिंदु पर. इसमें अनेक परिभाषाएँ हमारी सहायता करेंगी। ये परिभाषाएँ आधारित हैं संख्या क्रम और उनका अभिसरण या विचलन.

परिभाषा(अनंत पर किसी फ़ंक्शन की सीमा ज्ञात करना)।

संख्या A को फ़ंक्शन f(x) की सीमा कहा जाता है, यदि फ़ंक्शन तर्कों के किसी भी असीम रूप से बड़े अनुक्रम (असीम रूप से बड़े सकारात्मक या नकारात्मक) के लिए, इस फ़ंक्शन के मानों का अनुक्रम A में परिवर्तित हो जाता है। द्वारा चिह्नित ।

टिप्पणी।

किसी फ़ंक्शन f(x) की सीमा अनंत है यदि फ़ंक्शन तर्कों के किसी भी असीम रूप से बड़े अनुक्रम (असीम रूप से बड़े सकारात्मक या नकारात्मक) के लिए, इस फ़ंक्शन के मानों का अनुक्रम अनंत रूप से सकारात्मक या असीम रूप से नकारात्मक है। द्वारा चिह्नित ।

उदाहरण।

सीमा की परिभाषा का प्रयोग करते हुए समानता सिद्ध कीजिए।

समाधान।

आइए तर्क मानों के असीमित बड़े सकारात्मक अनुक्रम के लिए फ़ंक्शन मानों का अनुक्रम लिखें।

स्पष्ट है कि इस क्रम के पद एकरस रूप से शून्य की ओर घटते जाते हैं।

ग्राफिक चित्रण.

आइए अब तर्क मानों के एक असीम रूप से बड़े नकारात्मक अनुक्रम के लिए फ़ंक्शन मानों का अनुक्रम लिखें।

इस क्रम के पद भी एकरस रूप से शून्य की ओर घटते हैं, जो मूल समानता को सिद्ध करता है।

ग्राफिक चित्रण.

उदाहरण।

सीमा ज्ञात करें

समाधान।

आइए तर्क मानों के असीमित बड़े सकारात्मक अनुक्रम के लिए फ़ंक्शन मानों का अनुक्रम लिखें। उदाहरण के लिए, आइए लेते हैं।

फ़ंक्शन मानों का क्रम होगा (ग्राफ़ पर नीले बिंदु)

जाहिर है, यह क्रम असीम रूप से बड़ा सकारात्मक है, इसलिए,

आइए अब तर्क मानों के एक असीम रूप से बड़े नकारात्मक अनुक्रम के लिए फ़ंक्शन मानों का अनुक्रम लिखें। उदाहरण के लिए, आइए लेते हैं।

फ़ंक्शन मानों का क्रम होगा (ग्राफ़ पर हरे बिंदु)

जाहिर है, यह क्रम शून्य पर परिवर्तित हो जाता है, इसलिए,

ग्राफिक चित्रण

उत्तर:

अब बात करते हैं एक बिंदु पर किसी फ़ंक्शन की सीमा के अस्तित्व और निर्धारण के बारे में। सब कुछ पर आधारित है एकतरफ़ा सीमाएँ परिभाषित करना. जब कोई एकतरफ़ा सीमा की गणना किए बिना नहीं रह सकता।

परिभाषा(बाईं ओर किसी फ़ंक्शन की सीमा ढूँढना)।

संख्या B को बायीं ओर फ़ंक्शन f(x) की सीमा कहा जाता है, यदि a में परिवर्तित होने वाले फ़ंक्शन तर्कों के किसी अनुक्रम के लिए, जिसका मान a () से कम रहता है, के मानों का क्रम यह फ़ंक्शन बी में परिवर्तित हो जाता है।

मनोनीत .

परिभाषा(दाईं ओर किसी फ़ंक्शन की सीमा ढूँढना)।

संख्या B को दाईं ओर फ़ंक्शन f(x) की सीमा कहा जाता है, यदि फ़ंक्शन तर्कों के किसी भी अनुक्रम के लिए a में परिवर्तित होता है, जिसका मान a () से अधिक रहता है, के मानों का क्रम यह फ़ंक्शन बी में परिवर्तित हो जाता है।

मनोनीत .

परिभाषा(एक बिंदु पर किसी फ़ंक्शन की सीमा का अस्तित्व)।

बिंदु a पर फ़ंक्शन f(x) की सीमा मौजूद है यदि a के बाएँ और दाएँ सीमाएँ हैं और वे एक दूसरे के बराबर हैं।

टिप्पणी।

बिंदु a पर फलन f(x) की सीमा अनंत है यदि a के बाएँ और दाएँ की सीमाएँ अनंत हैं।

आइए इन परिभाषाओं को एक उदाहरण से समझाएं।

उदाहरण।

किसी फ़ंक्शन की एक सीमित सीमा के अस्तित्व को सिद्ध करें बिंदु पर. इसका मूल्य ज्ञात कीजिये.

समाधान।

हम एक बिंदु पर किसी फ़ंक्शन की सीमा के अस्तित्व की परिभाषा से शुरुआत करेंगे।

सबसे पहले, हम बाईं ओर एक सीमा का अस्तित्व दिखाते हैं। ऐसा करने के लिए, और में परिवर्तित होने वाले तर्कों का एक क्रम लें। ऐसे अनुक्रम का एक उदाहरण होगा

चित्र में, संबंधित मानों को हरे बिंदुओं के रूप में दिखाया गया है।

यह देखना आसान है कि यह क्रम -2 में परिवर्तित हो जाता है .

दूसरे, हम दाहिनी ओर एक सीमा के अस्तित्व को दर्शाते हैं। ऐसा करने के लिए, और में परिवर्तित होने वाले तर्कों का एक क्रम लें। ऐसे अनुक्रम का एक उदाहरण होगा

फ़ंक्शन मानों का संगत क्रम इस प्रकार दिखेगा

चित्र में, संबंधित मानों को नीले बिंदुओं के रूप में दिखाया गया है।

यह देखना आसान है कि यह क्रम -2 में भी परिवर्तित होता है .

इसके द्वारा हमने दिखाया कि बाएँ और दाएँ की सीमाएँ समान हैं, इसलिए, परिभाषा के अनुसार, फ़ंक्शन की एक सीमा होती है बिंदु पर, और

ग्राफिक चित्रण.

हम अनुशंसा करते हैं कि आप विषय के साथ सीमा सिद्धांत की बुनियादी परिभाषाओं का अध्ययन जारी रखें।

कार्य सीमा- संख्या एकिसी परिवर्तनशील मात्रा की सीमा होगी यदि, परिवर्तन की प्रक्रिया में, यह परिवर्तनीय मात्रा अनिश्चित काल तक पहुंचती है ए.

या दूसरे शब्दों में, संख्या एफ़ंक्शन की सीमा है वाई = एफ(एक्स)बिंदु पर एक्स 0, यदि फ़ंक्शन की परिभाषा के क्षेत्र से बिंदुओं के किसी भी अनुक्रम के लिए, बराबर नहीं है एक्स 0, और जो बिंदु पर एकत्रित होता है x 0 (लिम x n = x0), संबंधित फ़ंक्शन मानों का क्रम संख्या में परिवर्तित हो जाता है ए.

किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ जिसकी सीमा, एक तर्क दिया गया है जो अनंत की ओर जाता है, के बराबर है एल:

अर्थ एहै फ़ंक्शन की सीमा (सीमा मान)। एफ(एक्स)बिंदु पर एक्स 0अंकों के किसी भी क्रम के मामले में , जो अभिसरण करता है एक्स 0, लेकिन जिसमें शामिल नहीं है एक्स 0इसके तत्वों में से एक के रूप में (अर्थात् छिद्रित क्षेत्र में)। एक्स 0), फ़ंक्शन मानों का अनुक्रम में एकत्रित हो जाता है ए.

कॉची फ़ंक्शन की सीमा.

अर्थ एहोगा फ़ंक्शन की सीमा एफ(एक्स)बिंदु पर एक्स 0यदि किसी गैर-नकारात्मक संख्या के लिए पहले से लिया गया हो ε संगत गैर-ऋणात्मक संख्या मिल जाएगी δ = δ(ε) ऐसा कि प्रत्येक तर्क के लिए एक्स, शर्त को संतुष्ट करना 0 < | x - x0 | < δ , असमानता संतुष्ट हो जाएगी | एफ(एक्स)ए |< ε .

यदि आप सीमा का सार और उसे खोजने के बुनियादी नियमों को समझ लें तो यह बहुत आसान हो जाएगा। फ़ंक्शन की सीमा क्या है एफ (एक्स)पर एक्सके लिए प्रयासरत एके बराबर होती है ए, इस प्रकार लिखा गया है:

इसके अलावा, वह मान जिस ओर चर की प्रवृत्ति होती है एक्स, न केवल एक संख्या हो सकती है, बल्कि अनंत (∞) भी हो सकती है, कभी-कभी +∞ या -∞, या कोई सीमा ही नहीं हो सकती है।

कैसे समझें किसी फ़ंक्शन की सीमाएँ ज्ञात करें, समाधानों के उदाहरणों को देखना सबसे अच्छा है।

फलन की सीमा ज्ञात करना आवश्यक है एफ (एक्स) = 1/एक्सपर:

एक्स→ 2, एक्स→ 0, एक्स→ ∞.

आइए पहली सीमा का समाधान खोजें। ऐसा करने के लिए, आप बस स्थानापन्न कर सकते हैं एक्सवह संख्या जिसकी ओर इसकी प्रवृत्ति होती है, अर्थात 2, हमें मिलता है:

आइए फ़ंक्शन की दूसरी सीमा ज्ञात करें. यहां इसके स्थान पर शुद्ध 0 रखें एक्सयह असंभव है, क्योंकि आप 0 से भाग नहीं दे सकते. लेकिन हम मानों को शून्य के करीब ले सकते हैं, उदाहरण के लिए, 0.01; 0.001; 0.0001; 0.00001 वगैरह, और फ़ंक्शन का मान एफ (एक्स)वृद्धि होगी: 100; 1000; 10000; 100,000 इत्यादि। इस प्रकार यह समझा जा सकता है कि कब एक्स→ 0 फ़ंक्शन का मान जो सीमा चिह्न के अंतर्गत है, बिना किसी सीमा के बढ़ेगा, अर्थात। अनंत की ओर प्रयास करें. मतलब:

तीसरी सीमा के संबंध में. पिछले मामले की तरह ही स्थिति, इसे प्रतिस्थापित करना असंभव है ∞ अपने शुद्धतम रूप में. हमें असीमित वृद्धि के मामले पर विचार करने की जरूरत है एक्स. हम एक-एक करके 1000 प्रतिस्थापित करते हैं; 10000; 100000 और इसी तरह, हमारे पास फ़ंक्शन का मान है एफ (एक्स) = 1/एक्सघटेगा: 0.001; 0.0001; 0.00001; और इसी तरह, शून्य की ओर रुझान। इसीलिए:

फ़ंक्शन की सीमा की गणना करना आवश्यक है

दूसरे उदाहरण को हल करना शुरू करने पर, हमें अनिश्चितता दिखाई देती है। यहां से हमें अंश और हर की उच्चतम डिग्री मिलती है - यह है एक्स 3, हम इसे अंश और हर के कोष्ठक से निकालते हैं और फिर इसे कम करते हैं:

उत्तर

में पहला कदम इस सीमा का पता लगाना, इसके स्थान पर मान 1 रखें एक्स, जिसके परिणामस्वरूप अनिश्चितता उत्पन्न हुई। इसे हल करने के लिए, आइए अंश का गुणनखंड करें और द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात करने की विधि का उपयोग करके ऐसा करें एक्स 2 + 2एक्स - 3:

डी = 2 2 - 4*1*(-3) = 4 +12 = 16→ √ डी=√16 = 4

x 1.2 = (-2±4)/2→ एक्स 1 = -3;एक्स 2= 1.

तो अंश होगा:

उत्तर

यह इसके विशिष्ट मान या एक निश्चित क्षेत्र की परिभाषा है जहां फ़ंक्शन पड़ता है, जो सीमा द्वारा सीमित है।

सीमाएँ हल करने के लिए, नियमों का पालन करें:

सार और मुख्य को समझकर सीमा को हल करने के नियम, आपको उन्हें हल करने की बुनियादी समझ मिल जाएगी।

सीमाएं सभी गणित के विद्यार्थियों को बहुत परेशानी देती हैं। किसी सीमा को हल करने के लिए, कभी-कभी आपको कई तरकीबों का उपयोग करना पड़ता है और विभिन्न समाधान विधियों में से वही चुनना पड़ता है जो किसी विशेष उदाहरण के लिए उपयुक्त हो।

इस लेख में हम आपकी क्षमताओं की सीमाओं को समझने या नियंत्रण की सीमाओं को समझने में आपकी मदद नहीं करेंगे, बल्कि हम इस प्रश्न का उत्तर देने का प्रयास करेंगे: उच्च गणित में सीमाओं को कैसे समझें? समझ अनुभव के साथ आती है, इसलिए साथ ही हम स्पष्टीकरण के साथ सीमाओं को हल करने के कई विस्तृत उदाहरण देंगे।

गणित में सीमा की अवधारणा

पहला प्रश्न यह है कि यह सीमा क्या है और किसकी सीमा है? हम संख्यात्मक अनुक्रमों और कार्यों की सीमाओं के बारे में बात कर सकते हैं। हम किसी फ़ंक्शन की सीमा की अवधारणा में रुचि रखते हैं, क्योंकि छात्र अक्सर इसी का सामना करते हैं। लेकिन सबसे पहले, सीमा की सबसे सामान्य परिभाषा:

मान लीजिए कि कुछ परिवर्तनशील मान है। यदि परिवर्तन की प्रक्रिया में यह मान असीमित रूप से एक निश्चित संख्या तक पहुंचता है ए , वह ए – इस मान की सीमा.

एक निश्चित अंतराल में परिभाषित फ़ंक्शन के लिए f(x)=y ऐसी संख्या को सीमा कहा जाता है ए , जिसकी ओर फ़ंक्शन कब प्रवृत्त होता है एक्स , एक निश्चित बिंदु की ओर झुकाव ए . डॉट ए उस अंतराल से संबंधित है जिस पर फ़ंक्शन परिभाषित है।

यह बोझिल लगता है, लेकिन इसे बहुत सरलता से लिखा गया है:

लिम- अंग्रेज़ी से आप LIMIT- सीमा.

सीमा निर्धारित करने के लिए एक ज्यामितीय स्पष्टीकरण भी है, लेकिन यहां हम सिद्धांत में नहीं जाएंगे, क्योंकि हम मुद्दे के सैद्धांतिक पक्ष के बजाय व्यावहारिक पक्ष में अधिक रुचि रखते हैं। जब हम ऐसा कहते हैं एक्स किसी मान की ओर प्रवृत्त होता है, इसका मतलब यह है कि चर किसी संख्या का मान नहीं लेता है, बल्कि उसे असीम रूप से करीब लाता है।

आइए एक विशिष्ट उदाहरण दें. कार्य सीमा ज्ञात करना है।

इस उदाहरण को हल करने के लिए, हम मान को प्रतिस्थापित करते हैं एक्स=3 एक समारोह में. हम पाते हैं:

वैसे, यदि आप रुचि रखते हैं, तो इस विषय पर एक अलग लेख पढ़ें।

उदाहरणों में एक्स किसी भी मूल्य की ओर प्रवृत्त हो सकता है। यह कोई भी संख्या या अनंत हो सकता है। यहाँ एक उदाहरण है जब एक्स अनंत की ओर प्रवृत्त होता है:

सहज रूप से, हर में जितनी बड़ी संख्या होगी, फ़ंक्शन का मान उतना ही कम होगा। तो, असीमित विकास के साथ एक्स अर्थ 1/x घटेगा और शून्य के करीब पहुंचेगा।

जैसा कि आप देख सकते हैं, सीमा को हल करने के लिए, आपको केवल उस मान को फ़ंक्शन में प्रतिस्थापित करना होगा जिसके लिए आप प्रयास करना चाहते हैं एक्स . हालाँकि, यह सबसे सरल मामला है। अक्सर सीमा ज्ञात करना इतना स्पष्ट नहीं होता है। सीमाओं के भीतर तरह-तरह की अनिश्चितताएँ हैं 0/0 या अनंत/अनंत . ऐसे मामलों में क्या करें? युक्तियों का सहारा लें!

भीतर अनिश्चितताएं

अनंत/अनंत रूप की अनिश्चितता

चलो एक सीमा हो:

यदि हम फ़ंक्शन में अनंत को प्रतिस्थापित करने का प्रयास करते हैं, तो हमें अंश और हर दोनों में अनंत मिलेगा। सामान्य तौर पर, यह कहने लायक है कि ऐसी अनिश्चितताओं को हल करने में कला का एक निश्चित तत्व है: आपको यह ध्यान देने की आवश्यकता है कि आप फ़ंक्शन को इस तरह से कैसे बदल सकते हैं कि अनिश्चितता दूर हो जाए। हमारे मामले में, हम अंश और हर को इससे विभाजित करते हैं एक्स वरिष्ठ डिग्री में. क्या हो जाएगा?

ऊपर पहले ही चर्चा किए गए उदाहरण से, हम जानते हैं कि हर में x वाले पद शून्य की ओर प्रवृत्त होंगे। तब सीमा का समाधान है:

प्रकार की अनिश्चितताओं को हल करने के लिए अनंत/अनंतअंश और हर को इससे विभाजित करें एक्सउच्चतम स्तर तक.

वैसे! हमारे पाठकों के लिए अब 10% की छूट है

अन्य प्रकार की अनिश्चितता: 0/0

हमेशा की तरह, फ़ंक्शन में मानों को प्रतिस्थापित करना x=-1 देता है 0 अंश और हर में. थोड़ा और करीब से देखें और आप देखेंगे कि हमारे पास अंश में एक द्विघात समीकरण है। आइए जड़ें खोजें और लिखें:

आइए कम करें और प्राप्त करें:

इसलिए, यदि आप प्रकार की अनिश्चितता का सामना कर रहे हैं 0/0 - अंश और हर का गुणनखंड करें।

उदाहरणों को हल करना आपके लिए आसान बनाने के लिए, हम कुछ कार्यों की सीमाओं के साथ एक तालिका प्रस्तुत करते हैं:

L'Hopital का नियम भीतर

दोनों प्रकार की अनिश्चितता को खत्म करने का एक और शक्तिशाली तरीका। विधि का सार क्या है?

यदि सीमा में अनिश्चितता है, तो अंश और हर का व्युत्पन्न तब तक लें जब तक अनिश्चितता गायब न हो जाए।

एल'हॉपिटल का नियम इस तरह दिखता है:

महत्वपूर्ण बिंदु : वह सीमा जिसमें अंश और हर के स्थान पर अंश और हर के व्युत्पन्न मौजूद होने चाहिए।

और अब - एक वास्तविक उदाहरण:

वहाँ विशिष्ट अनिश्चितता है 0/0 . आइए अंश और हर के अवकलज लें:

वोइला, अनिश्चितता का समाधान जल्दी और खूबसूरती से किया जाता है।

हम आशा करते हैं कि आप इस जानकारी को व्यवहार में उपयोगी रूप से लागू करने में सक्षम होंगे और "उच्च गणित में सीमाओं को कैसे हल करें" प्रश्न का उत्तर पा सकेंगे। यदि आपको किसी बिंदु पर अनुक्रम की सीमा या फ़ंक्शन की सीमा की गणना करने की आवश्यकता है, और इस काम के लिए बिल्कुल समय नहीं है, तो त्वरित और विस्तृत समाधान के लिए एक पेशेवर छात्र सेवा से संपर्क करें।

उनकी शादी 18 साल की उम्र में ही हो गई थी। इससे पहले हमने 3 साल तक डेट किया था।' रिश्ता बादल रहित नहीं था; इसमें घर्षण, कठिनाई, अलगाव और मेल-मिलाप था। लेकिन हमने साथ रहने का फैसला किया. रिश्ता कठिन बना रहा, मैं खुद की प्रशंसा नहीं कर सकता, मैंने एक बच्चे की तरह व्यवहार किया: मनमौजी, मांग करने वाला, कुछ स्थितियों में खुद को पीड़ित के रूप में कल्पना करने वाला, हालांकि अब मैं समझता हूं कि समझ, ज्ञान और बस प्यार की कमी थी हमारे रिश्ते। हम स्वतंत्र, वयस्क जीवन के लिए तैयार नहीं थे, हम उस रास्ते पर निकल पड़े जो उस समय हमारे लिए बहुत कठिन था। आय न्यूनतम थी, पैसे की भारी कमी थी, खासकर एक साल बाद हमारे पहले बच्चे के जन्म के बाद।

मेरे पति ने पैसे कमाने के लिए छोड़ने का फैसला किया, नौकरी मिल गई और तीन महीने बाद हम उनके साथ एक किराए के अपार्टमेंट में रहने लगे। हम 3 महीने तक बहुत खुश रहे. फिर कठिनाइयाँ उत्पन्न हुईं, मुझे बिना सुविधाओं वाले घर में जाना पड़ा, मेरी नसें चरम पर थीं, मैं अब अपने पति को समझती हूँ, जिनके लिए यह स्थान आसान नहीं था। एक झगड़े में मेरे चेहरे पर पहला थप्पड़ पड़ा।

लगभग 7 वर्षों तक हम किराए के अपार्टमेंटों में घूमते रहे। बहुत सारा सामान था. अपने परिवार का भरण-पोषण करने की चाहत में, पति ने नैतिक रूप से काम चुनना भी बंद कर दिया। फिर वह कई दिनों तक गायब रहने लगा, शराब पीने लगा और सैर करने लगा। उसने मुझे दो-चार बार बहुत पीटा। फिर उसने माफ़ी मांगी. कुछ समय के लिए सब कुछ बदल गया, फिर एक नया: पार्टी करना, शराब पीना, स्लॉट मशीनें, छह महीने की जेल। यह वादा कि चीजें अलग होंगी. जेल से छूटने के पहले ही दिन चेहरे पर बड़ा झटका. मैं ज़िद करके अपने प्रियजन में राक्षस नहीं देखना चाहता था। उसने मनमौजी ढंग से अपने जीवन को बदलने की मांग की, बिना यह महसूस किए कि जड़ें काफी गहराई तक छिपी हुई थीं। समय-समय पर झगड़े, मेल-मिलाप, शांति, तूफ़ान। बहुत कुछ था।

तुम चले क्यों नहीं गए? मैंने कोशिश की, लेकिन मेरी चेतना ने उसे एक अजनबी के रूप में देखने से इनकार कर दिया। वह एक गलती का पारिवारिक सदस्य था। कितना क्रूर और स्नेही, जानवर और बिल्ली का बच्चा, देवदूत और राक्षस। मैं उसे छोड़ नहीं सका, दर्द था, तेज़, लेकिन मेरा, प्रिय दर्द। काश मैं यह समझ पाता कि उन्माद और चीखने-चिल्लाने से प्यार और पारस्परिकता हासिल नहीं की जा सकती... मैं, एक अंधे बिल्ली के बच्चे की तरह, जीवन के पिंजरे में भाग गया, न जाने खुद को कहां रखूं।

उसे चोरी के आरोप में पिछले साल दूसरी बार जेल की सज़ा मिली। ये मेरे लिए एक झटका था. यह सोचना ही अपमानजनक था कि मेरे बच्चों का पिता चोर है। मैं इस बात से सहमत नहीं हो सका। फिर मैं शांत हुआ और फोन पर बात की. ऐसा लगता है जैसे हमने तय कर लिया है कि हम अपने पारिवारिक जीवन को बहाल करने का प्रयास करेंगे - वह एक अद्भुत पिता हैं। फिर वह 2 महीने के लिए गायब हो गया. जब दूसरे शिविर में स्थानांतरित किया गया तो संवाद करने का कोई अवसर नहीं था।

और मुझे 30 साल की उम्र के बावजूद एक लड़की की तरह, एक बच्चे की तरह प्यार हो गया। मुझे उस व्यक्ति का चरित्र पसंद नहीं है, मैं उसकी शक्ल-सूरत से खुश नहीं हूं, इसके अलावा, उसने दूसरी बार शादी की है और साथ रहने की कोई उम्मीद नहीं है और मैं ऐसा करना भी नहीं चाहता। हम एक साथ नहीं रह सकते. मैं उसके परिवार को नष्ट नहीं करना चाहता, और हम बहुत अलग लोग हैं, और मैं नहीं चाहता कि मेरे बच्चे सौतेले पिता के साथ बड़े हों, जबकि उनका अपना पिता हो। मेरी जिंदगी में आए एक शख्स से कई मुलाकातें हुईं। मेरे पास कभी भी ऐसा कुछ नहीं था। गंध, स्पर्श के स्तर पर संवेदनाएँ। किसी तरह का गहरा आकर्षण, उसके खुश रहने की चाहत, साइट भले ही मेरे पास न हो, लेकिन ऐसा है। ख़ुशी तो बस उसकी मुस्कुराहट से आती है. मुझे संदेह है कि वह हर चीज़ के बारे में ऐसा ही महसूस करता था।

उसने मेल-मिलाप की दिशा में पहला कदम उठाया, मैंने मना नहीं किया, क्योंकि पहली नज़र में मुझे एहसास हुआ कि यह आदमी मेरे साथ रहेगा, जैसे कि मैं उसे सौ साल से जानता हूँ। मैं कोई गंभीर रिश्ता नहीं चाहता था. मैं बस थोड़ा खुश होना चाहता था. इन रिश्तों की कोई स्पष्ट शुरुआत और अंत नहीं होता। हम अभी डेटिंग नहीं कर रहे हैं, मुझे नहीं पता कि आगे क्या होगा।'

पति वापस आ गया. मैं तलाक लेना चाहती थी ताकि सब कुछ ठीक हो जाए. उसने मुझे रोका और समझाया कि वह बहुत कुछ समझता है, हम उसके लिए बहुत मायने रखते हैं। उन्होंने नशीली दवाओं को त्यागकर अपने शब्दों को साबित कर दिया (उन्हें जेल में डाल दिया गया, यह पता चला कि ऐसा होता है)। उसने कई महीनों से नशीली दवाओं का सेवन नहीं किया है (अब कोई सोचेगा कि यह कोई संकेतक नहीं है - मैं इसे खुद जानता हूं, मैं इस बारे में चिंतित हूं), उसे नौकरी मिल गई, हालांकि हमसे बहुत दूर, और हमें पैसे भेजने की कोशिश करता है। और वह वादा करता है कि हमारे लिए सब कुछ ठीक हो जाएगा और सब कुछ ठीक हो जाएगा। मुझे विश्वास है, मुझे उसकी इच्छा पर विश्वास है, मुझे विश्वास है कि सब कुछ ठीक हो जाएगा, केवल भावनाएँ अब पहले जैसी नहीं हैं और दिल पूरी तरह से अलग तरह से धड़कता है। समय सब कुछ अपनी जगह पर रख देगा, मैं झूठ में नहीं रहना चाहता और मैं किसी को चोट नहीं पहुंचाना चाहता। मैं बस खुश रहना चाहता हूं, प्यार करना चाहता हूं और प्यार पाना चाहता हूं।

मेरे लिए मेरा परिवार बहुत महत्वपूर्ण है, मेरे बच्चों की खुशी महत्वपूर्ण है, जो अपने पिता के दीवाने हैं। लेकिन मेरे लिए, किसी भी मामले में, वह एक प्रिय और करीबी व्यक्ति है। एक अच्छे पिता, एक अद्भुत प्रेमी। मैं भगवान से केवल एक ही चीज मांगता हूं - उसे नशीली दवाओं और अपराध का जीवन न जीने की शक्ति देना। मुझे सचमुच तुम्हारी ज़रूरत है, तुम महत्वपूर्ण हो। आप मेरे प्रिय व्यक्ति हैं!

"हम जो देखते हैं वह अपने आप में प्रकृति नहीं है, बल्कि हमारे अवलोकन के तरीके के लिए प्रस्तुत प्रकृति है," जर्मन भौतिक विज्ञानी वर्नर हाइजेनबर्ग ने लिखा, जो क्वांटम भौतिकी में निहित अनिश्चितता को समझने वाले पहले व्यक्ति थे। जो लोग विज्ञान को दुनिया की सच्चाई के सीधे रास्ते के रूप में देखते हैं, उनके लिए यह उद्धरण आश्चर्यजनक या निराशाजनक भी हो सकता है।

तो हाइजेनबर्ग का मानना ​​था कि हमारे वैज्ञानिक सिद्धांत पर्यवेक्षकों के रूप में हम पर निर्भर करते हैं? क्या इसका मतलब यह है कि तथाकथित वैज्ञानिक सत्य एक बड़े भ्रम से अधिक कुछ नहीं है?

आप तुरंत बहस कर सकते हैं: फिर हवाई जहाज़ क्यों उड़ते हैं और एंटीबायोटिक्स काम क्यों करते हैं? हम ऐसी मशीनें बनाने में सक्षम क्यों हैं जो इतनी अद्भुत दक्षता के साथ जानकारी संसाधित करती हैं? बेशक, ऐसे आविष्कार और कई अन्य आविष्कार प्रकृति के नियमों पर आधारित हैं जो हमसे स्वतंत्र रूप से संचालित होते हैं। ब्रह्माण्ड में व्यवस्था है और विज्ञान धीरे-धीरे इसे प्रकट कर रहा है।
हां, यह निस्संदेह है: ब्रह्मांड में व्यवस्था है, और विज्ञान का कार्य इसके पैटर्न और पैटर्न को ढूंढना है, क्वार्क और स्तनधारियों से लेकर संपूर्ण आकाशगंगाओं तक, उन्हें सामान्य कानूनों द्वारा निर्धारित करना है। हम अनावश्यक जटिलता को दूर करते हैं और जिस प्रणाली का हम अध्ययन कर रहे हैं उसके मूल गुणों पर, सार पर ध्यान केंद्रित करते हैं। फिर हम सिस्टम के व्यवहार का एक वर्णनात्मक आख्यान बनाते हैं, जिसका, सर्वोत्तम मामलों में, आसानी से अनुमान लगाया जा सकता है।
अनुसंधान की गर्मी में, अक्सर इस बात को नजरअंदाज कर दिया जाता है कि विज्ञान की पद्धति को अध्ययन की जा रही प्रणाली के साथ बातचीत की आवश्यकता होती है। हम इसके व्यवहार का निरीक्षण करते हैं, इसके गुणों को मापते हैं, और इसे बेहतर ढंग से समझने के लिए गणितीय या वैचारिक मॉडल बनाते हैं। ऐसा करने के लिए, हमें ऐसे उपकरणों की आवश्यकता है जो हमारी संवेदनशील सीमा से परे हों: सबसे छोटे, सबसे तेज़, सबसे दूर और लगभग दुर्गम का अध्ययन करने के लिए, जैसे कि हमारे मस्तिष्क की गहराई या पृथ्वी की कोर। हम स्वयं प्रकृति का अवलोकन नहीं करते हैं, बल्कि अपनी मशीनों से एकत्र किए गए डेटा में प्रतिबिंबित प्रकृति का अवलोकन करते हैं। बदले में, दुनिया का वैज्ञानिक दृष्टिकोण उस जानकारी पर निर्भर करता है जिसे हम अपने उपकरणों की मदद से प्राप्त कर सकते हैं। और अगर हम मान लें कि हमारे उपकरण सीमित हैं, तो दुनिया के बारे में हमारा दृष्टिकोण निश्चित रूप से अदूरदर्शी होगा। हम अब तक केवल चीजों की प्रकृति को ही देख सकते हैं, और दुनिया के बारे में हमारा लगातार बदलता दृष्टिकोण वास्तविकता को समझने के हमारे तरीके में एक बुनियादी सीमा को दर्शाता है।
यह याद रखना पर्याप्त है कि सूक्ष्मदर्शी या जीन अनुक्रमण के आगमन से पहले जीवविज्ञान कैसा था, और दूरबीनों के आगमन से पहले खगोल विज्ञान कैसा था, कोलाइडर में परमाणुओं की टक्कर से पहले कण भौतिकी और तेज़ इलेक्ट्रॉनिक्स के आगमन से पहले कैसा था। अब, 17वीं शताब्दी की तरह, जैसे-जैसे हमारे अनुसंधान उपकरण बदलते हैं, हम जो सिद्धांत बनाते हैं और दुनिया को देखने का हमारा नजरिया बदलता है। यह प्रवृत्ति विज्ञान की पहचान है।
कभी-कभी लोग वैज्ञानिक ज्ञान की सीमाओं के बारे में इस कथन को पराजयवादी मानते हैं। "अगर हम चीजों की तह तक नहीं पहुंच सकते, तो प्रयास क्यों करें?" लेकिन ये गलत तरीका है. ज्ञान के प्रति वैज्ञानिक दृष्टिकोण की सीमाओं को समझने में कुछ भी पराजयवादी नहीं है। प्रकृति के सिद्धांतों के बारे में आम सहमति बनाने के लिए विज्ञान हमारी सर्वोत्तम पद्धति बनी हुई है। जो बदलता है वह केवल वैज्ञानिक विजयवाद की भावना है - यह दृढ़ विश्वास कि एक भी प्रश्न वैज्ञानिक समझ के दायरे से बाहर नहीं रहेगा।
विज्ञान में निश्चित रूप से ऐसे अज्ञात होंगे जिन्हें हम प्रकृति के मौजूदा नियमों को स्वीकार करके हल नहीं कर सकते। उदाहरण के लिए, एकाधिक ब्रह्मांड: यह धारणा कि हमारा ब्रह्मांड कई अन्य ब्रह्मांडों में से एक है, प्रत्येक के अपने प्राकृतिक नियम हैं। अन्य ब्रह्मांड हमारे कारण-और-प्रभाव क्षितिज से परे हैं; हमें उनसे कभी कोई संकेत प्राप्त नहीं होगा या हम अपना संकेत नहीं भेजेंगे। उनके अस्तित्व का कोई भी सबूत अप्रत्यक्ष होगा: उदाहरण के लिए, पड़ोसी ब्रह्मांड के साथ टकराव के बाद अंतरिक्ष की माइक्रोवेव पृष्ठभूमि में एक निशान।
मौलिक रूप से अज्ञात के अन्य उदाहरणों को ब्रह्मांड, जीवन और मन की उत्पत्ति के बारे में तीन प्रश्नों द्वारा इंगित किया जा सकता है। ब्रह्मांड की उत्पत्ति की वैज्ञानिक समझ अधूरी होगी क्योंकि वे वैचारिक ढांचे पर निर्भर हैं: ऊर्जा का संरक्षण, सापेक्षता, क्वांटम भौतिकी और अन्य। ब्रह्माण्ड इन्हीं नियमों के अनुसार क्यों संचालित होता है, दूसरों के अनुसार नहीं?
इसी तरह, जब तक हम यह साबित नहीं कर सकते कि कई जैव रासायनिक मार्गों में से केवल एक ही है जो गैर-जीवन से जीवन बनाता है, हम यह नहीं जान पाएंगे कि पृथ्वी पर जीवन कैसे आया। चेतना के मामले में, समस्या भौतिक से व्यक्तिपरक की ओर छलांग है - उदाहरण के लिए, न्यूरॉन्स की फायरिंग से दर्द की अनुभूति या रंग लाल होना। शायद एक काफी जटिल मशीन में किसी प्रकार की अल्पविकसित चेतना उत्पन्न हो सकती है। लेकिन हमें कैसे पता चलेगा? हम यह कैसे निर्धारित करें-मानने के बजाय-कि कुछ चेतन है?
विरोधाभासी रूप से, यह हमारी चेतना है जो दुनिया को अर्थ देती है, भले ही यह अर्थपूर्ण चित्र अपूर्ण हो। क्या हम पूरी तरह से समझ सकते हैं कि हम किसका हिस्सा हैं? उस पौराणिक साँप की तरह जो अपनी ही पूँछ को काटता है, हम एक ऐसे चक्र में फंस गए हैं जो इस दुनिया में जीवन के हमारे अनुभव के साथ शुरू और समाप्त होता है। हम वास्तविकता के अपने विवरण को इस बात से अलग नहीं कर सकते कि हम उस वास्तविकता को कैसे अनुभव करते हैं। यह खेल का मैदान है जिस पर विज्ञान का खेल खेला जाता है, और यदि हम नियमों के अनुसार खेलते हैं, तो हम मैदान के बाहर जो कुछ भी है उसका केवल एक अंश ही देख पाएंगे।