न्यूटन का दूसरा नियम: किसी पिंड द्वारा प्राप्त त्वरण उस पर लगने वाले सभी बलों के परिणाम के सीधे आनुपातिक और द्रव्यमान के व्युत्क्रमानुपाती होता है।

,

बल एक सदिश भौतिक मात्रा है जो एक पिंड की दूसरे पिंड पर क्रिया को दर्शाती है।

§2.3 न्यूटन के दूसरे नियम का आवेग रूप।

- न्यूटन का दूसरा नियम - सामान्य सूत्रीकरण

t के दौरान किसी बल की क्रिया से पिंड की गति में परिवर्तन होता है। आईएफएफ-स्थिरांक
FΔt=ΔP

2.4 न्यूटन का तीसरा नियम (पिंडों की परस्पर क्रिया का नियम)।

न्यूटन का तीसरा नियम: दो पिंड परिमाण और परिमाण में समान, लेकिन दिशा में विपरीत बलों के साथ एक-दूसरे के साथ बातचीत करते हैं

बल अलग-अलग निकायों में समायोजित हो जाते हैं और कभी भी एक-दूसरे की क्षतिपूर्ति नहीं कर सकते

अध्याय 3. संरक्षण कानून

संरक्षण कानून सार्वभौमिक हैं; वे सभी प्रकार की गति (यांत्रिक, तापीय, जैविक) के लिए मान्य हैं। संवेग और ऊर्जा के संरक्षण का नियम पदार्थ के ऐसे गुणों जैसे अंतरिक्ष की एकरूपता और समय की एकरूपता से सख्ती से प्राप्त किया जा सकता है। अंतरिक्ष की एकरूपता का अर्थ है कि अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु पर भौतिकी के नियम मान्य हैं। समय की एकरूपता का अर्थ है कि भौतिकी के नियम समय के साथ नहीं बदलते। पिंडों का एक समूह, जिसकी गति को एक साथ और एक ही समय में माना जाता है, पिंडों की प्रणाली कहलाती है। इस मामले में, वे बल जिनके साथ पिंड परस्पर क्रिया करते हैं, किसी दिए गए सिस्टम से संबंधित होते हैं और आंतरिक बल कहलाते हैं। जो बल उन निकायों द्वारा बनाए जाते हैं जो किसी दिए गए सिस्टम से संबंधित नहीं हैं, वे बाहरी बल हैं। किसी निकाय का द्रव्यमान उस निकाय के सभी पिंडों के द्रव्यमान का योग होता है।

कुल आवेग प्रणाली के निकायों के आवेगों का योग है।

§3.1 संवेग संरक्षण का नियम.

मान लीजिए कि सिस्टम में 2 निकाय हैं। न्यूटन के तीसरे नियम के अनुसार

एफ 1 = -एफ 2 - दिशा में बराबर और विपरीत। न्यूटन के प्रथम नियम के अनुसार, किसी बल की क्रिया से संवेग में परिवर्तन होता है।

पी 1+ पी 2 = पी 1 `+ पी 2` = स्थिरांक।

पिंडों की एक प्रणाली की गति को द्रव्यमान के केंद्र की अवधारणा से चित्रित किया जा सकता है।

किसी भी निकाय के द्रव्यमान के केंद्र को वेक्टर कहा जाता है, जो संबंध द्वारा निर्धारित होता है:

,

द्रव्यमान के केंद्र की गति की गति:

गतिमान पिंडों की एक प्रणाली के द्रव्यमान का केंद्र, एक भौतिक बिंदु की तरह जिसमें प्रणाली का संपूर्ण द्रव्यमान केंद्रित होता है।

ख़ासियतें:

1) एफ बाहरी =0, औरP=0P=const

2) यदि dt0, तो बाह्य बलों की क्रिया बहुत छोटी है dP=0, P=const

3) एफ एक्स =0, डीपी एक्स =0, पी एक्स = स्थिरांक;

§3.2 यांत्रिक कार्य और शक्ति।

यांत्रिक कार्य संबंध द्वारा निर्धारित एक अभिव्यक्ति है:

ए =Fस्कोस=FS

सूत्र का उपयोग केवल तभी किया जा सकता है जब F-const,a विस्थापन रैखिक हो। यदि गति सीधीरेखीय नहीं है, और F स्थिरांक नहीं है, तो प्रक्षेपवक्र विभाजित हो जाता है और यह माना जाता है कि S पर गति सीधीरेखीय है, और F स्थिरांक है

उदाहरणबलों का कार्य:

1)लोचदार बलों का कार्य

2)गुरुत्वाकर्षण का कार्य

dA=mgdh=mgdrcos=mgdh,

गुरुत्वाकर्षण का कार्य प्रक्षेप पथ पर निर्भर नहीं करता, बल्कि पृथ्वी की सतह के ऊपर के स्तर से निर्धारित होता है। वे बल जिनका कार्य प्रक्षेप पथ पर निर्भर नहीं करता है, बल्कि तथाकथित की प्रारंभिक और अंतिम स्थिति से ही निर्धारित होता है। रूढ़िवादी बल (गुरुत्वाकर्षण, गुरुत्वाकर्षण, इलेक्ट्रोस्टैटिक,)। यदि F=स्थिरांक,
-शक्ति।

न्यूटन का दूसरा नियम आवेग रूप में। गतिकी का मूल समीकरण. किसी पिंड का आवेग: किसी पिंड के संवेग में वृद्धि उस पर लगने वाले बल के आवेग के बराबर होती है।

एक कण प्रणाली का संवेग और - आंतरिक बल कण प्रणाली एक कण प्रणाली का संवेग केवल बाहरी बलों के प्रभाव में बदल सकता है

एक कण प्रणाली के द्रव्यमान का केंद्र. द्रव्यमान केन्द्र की गति का नियम. 1). द्रव्यमान के केंद्र का त्रिज्या वेक्टर: 2). द्रव्यमान गति का केंद्र: 3). किसी कण प्रणाली के द्रव्यमान केंद्र की गति का नियम:

संवेग संरक्षण का नियम कणों की एक बंद प्रणाली का संवेग समय के साथ नहीं बदलता है 1). शास्त्रीय यांत्रिकी में, संवेग के संरक्षण का नियम न्यूटन के नियमों का परिणाम है: कणों की एक बंद प्रणाली में 2)। संवेग संरक्षण का नियम प्रकृति का मूलभूत नियम है।

संवेग संरक्षण का नियम लागू किया जा सकता है 1). यदि कण प्रणाली बंद है 2). यदि 3). यदि, तो 4). यदि सिस्टम में अल्पकालिक अंतःक्रिया बल बाहरी बलों की तुलना में परिमाण में कई गुना अधिक हैं

जेट गति संदर्भ प्रणाली की गति समय t=0 पर रॉकेट की गति के बराबर है: - रॉकेट का द्रव्यमान - रॉकेट के सापेक्ष गैस की गति

बल अंतःक्रिया (पारस्परिक क्रिया) का एक माप है। यदि क्रिया बड़ी (छोटी) है, तो वे बड़ी (छोटी) शक्ति की बात करते हैं। ताकत को $$ अक्षर से दर्शाया जाता हैएफ$$ (बल शब्द का पहला अक्षर)।

वगैरह और अंतःक्रिया, बल जितना अधिक होगा, शरीर का त्वरण उतना अधिक होगा जिस पर यह बल कार्य करता है। नतीजतन, त्वरण सीधे अभिनय बल के समानुपाती होता है: a ∼ F a\sim F ।

लेकिन यह पहले ही कहा जा चुका है कि त्वरण पिंड के द्रव्यमान पर निर्भर करता है: a ∼ 1 m a \sim \frac 1m

इन निर्भरताओं को सामान्यीकृत करने पर हमें यह मिलता है:

आइए अब प्रयोगात्मक रूप से स्थापित बल के गुणों पर विचार करें:

1) बल की क्रिया (अभिव्यक्ति) का परिणाम कार्यशील बल की दिशा पर निर्भर करता है, अत: बल -वेक्टर क्वांटिटी।

2) बल की क्रिया (अभिव्यक्ति) का परिणाम लगाए गए बल के परिमाण पर निर्भर करता है.

3) क्रिया का परिणामबल की (अभिव्यक्ति) बल के अनुप्रयोग के बिंदु पर निर्भर करती है।

4) बल की इकाई को उस बल का मान माना जाता है जो 1 m/s 2 1\ \mathrm(m)/\mathrm(s)^2 का त्वरण उत्पन्न करता है1 किलो वजन वाले शरीर के लिए 1\ \mathrm(kg) . बल की इकाई का नाम इस के नाम पर रखा गयाउर्फ न्यूटन 1 नया" सुर। (उपनाम शि का उच्चारण करेंऐसा ही सही लगता हैजिस प्रकार उपनाम का उच्चारण उस राज्य में किया जाता है जहां वह हैओ वैज्ञानिक जीवित रहे या जीवित रहे। )

[एफ → ] = 1 एन = 1 किग्रा एम एस 2 (न्यूटन)। [\overset(\rightarrow)(F)] = 1\ \mathrm(N) = 1\ \mathrm(kg)\cdot\frac(\mathrm(m))(\mathrm(s)^2)\quad \ गणित((न्यूटन)).

5) यदि किसी पिंड पर एक ही समय में कई बल कार्य करते हैं, तो प्रत्येक बल दूसरे से स्वतंत्र रूप से कार्य करता है। (बलों के सुपरपोजिशन का सिद्धांत)। फिर सभी बलों को सदिश रूप से जोड़ने और परिणामी बल प्राप्त करने की आवश्यकता है(चित्र 4) .

चावल। 4

ऊपर में से बल के गुण, प्रयोगात्मक तथ्यों के सामान्यीकरण के रूप में, न्यूटन के दूसरे नियम का अनुसरण करते हैं:

दूसरा कानून न्यूटन: किसी पिंड पर लगने वाले सभी बलों का योग पिंड के द्रव्यमान और बलों के इस योग द्वारा लगाए गए त्वरण के गुणनफल के बराबर होता है:

∑ एफ → = एम ए → . \boxed(\sum \vec(F) = m\vec(a)).

इस अभिव्यक्ति को दूसरे रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है: चूँकि a → = v → k - v → 0 t \vec a = \frac(\vec v_\mathrm(k) - \vec v_0)(t) , तो न्यूटन का दूसरा नियम रूप लेता है:∑ F → = m v → k - v → 0 t \sum \vec F = m\frac(\vec v_\mathrm(k) - \vec v_0)(t) .

किसी पिंड के द्रव्यमान और उसकी गति के गुणनफल को पिंड का संवेग कहा जाता है:

p → = m v → \vec p = m\vec v ,

तब हमें न्यूटन के दूसरे नियम के लिए एक नई अभिव्यक्ति मिलती है:

∑ F → = m v → k - m v → 0 t = p → k - p → 0 t = Δ p → t \boxed(\sum \vec F = \frac(m\vec v_\mathrm(k) - m\ vec v_0)(t)) = \frac(\vec p_\mathrm(k) - \vec p_0)(t) = \frac(\Delta \vec p)(t) .

∑ F → = p → k - p → 0 t \boxed(\sum \vec F = \frac(\vec p_\mathrm(k) - \vec p_0)(t)) - - बल के औसत मान के लिए आवेग रूप में न्यूटन का दूसरा नियम। यहाँ p → k - p → 0 = Δ p → \vec p_\mathrm(k) - \vec p_0 = \Delta \vec p - - शरीर की गति में परिवर्तन,टी - टी\ - शरीर के आवेग में परिवर्तन का समय.

∑ F → = d p → d t - \boxed(\sum \vec F = \frac(d\vec p)(dt))\ - बल के तात्कालिक मान के लिए आवेग रूप में न्यूटन का दूसरा नियम।

दूसरे नियम से, विशेष रूप से, यह निष्कर्ष निकलता है कि कई बलों की कार्रवाई के अधीन किसी पिंड का त्वरण प्रत्येक बल द्वारा लगाए गए त्वरण के योग के बराबर होता है:

A → = ∑ a → i = a → 1 + a → 2 + … + a → i = ∑ F → m = F → 1 + F → 2 + … + F → i m = F → 1 m + F → 2 m + … + F → i m \boxed(\vec a = \sum \vec a_i = \vec a_1 + \vec a_2 + \dots + \vec a_i = \frac(\sum \vec F)(m) = \frac( \vec F_1 + \vec F_2 + \dots + \vec F_i)(m) = \frac(\vec F_1)(m) + \frac(\vec F_2)(m) + \dots + \frac(\vec F_i )(एम)) ।

दूसरा नियम लिखने का पहला रूप (∑ F → = m a →) (\sum \vec F = m\vec a)गोरा केवल कम गति परगति की तुलना में स्वेता। और निःसंदेह, न्यूटन का दूसरा नियम ही संतुष्ट होता हैवी जड़त्वीय संदर्भ प्रणाली . यह भी ध्यान दिया जाना चाहिए कि न्यूटन का दूसरा नियम स्थिर द्रव्यमान वाले पिंडों के लिए मान्य है, सीमित आकार और उत्तरोत्तर गतिमान।

में दूसरी (आवेग) अभिव्यक्ति अधिक सामान्य हैऔर किसी भी गति पर मान्य है.

एक नियम के रूप में, स्कूल भौतिकी पाठ्यक्रम में, समय के साथ बल नहीं बदलता है। हालाँकि, रिकॉर्डिंग का अंतिम पल्स रूप समय पर बल की निर्भरता को ध्यान में रखना संभव बनाता है, औरतब अध्ययन के तहत समय अंतराल पर एक निश्चित अभिन्न अंग का उपयोग करके शरीर की गति में परिवर्तन पाया जाएगा। सरल मामलों में (समय के साथ बल रैखिक रूप से बदलता है), आप बल का औसत मान ले सकते हैं।


चावल। 5

कभी-कभी यह जानना बहुत उपयोगी होता है कि गुणनफल F → t \vec F \cdot tबल आवेग कहलाता है, और इसका मान F → · t = Δ p → \vec F \cdot t = \Delta \vec pशरीर की गति में परिवर्तन के बराबर.

बल बनाम समय के ग्राफ पर एक स्थिर बल के लिए, हम पा सकते हैं कि ग्राफ के नीचे की आकृति का क्षेत्रफल संवेग में परिवर्तन के बराबर है(चित्र 5) .

लेकिन अगर बल समय के साथ बदलता है, तो इस स्थिति में समय को छोटे-छोटे अंतरालों में विभाजित करना Δ t \Delta tइस प्रकार कि इस अंतराल पर बल का परिमाण अपरिवर्तित रहता है(चित्र 6), और फिर, परिणामी "कॉलम" को सारांशित करने पर, हमें मिलता है:

ग्राफ़ F (t) F (t) के अंतर्गत आकृति का क्षेत्रफल संख्यात्मक रूप से संवेग में परिवर्तन के बराबर है।

में देखी गई प्राकृतिक घटनाओं में, बल आमतौर पर समय के साथ बदलता रहता है। हम अक्सर सरल प्रक्रिया मॉडल का उपयोग करते हुए, हम बलों को स्थिर मानते हैं। सरल मॉडलों का उपयोग करने की संभावना गिनती की संभावना से उत्पन्न होती हैमध्यम शक्ति, यानी अर्थात्, ऐसा स्थिर बल जिसके लिए ग्राफ़ बनाम समय के अंतर्गत क्षेत्र वास्तविक बल के ग्राफ़ के अंतर्गत क्षेत्र के बराबर होगा।

चावल। 6

न्यूटन के दूसरे नियम का एक और बहुत महत्वपूर्ण परिणाम जोड़ा जाना चाहिए, जो जड़त्वीय और गुरुत्वाकर्षण द्रव्यमान की समानता से संबंधित है।

गुरुत्वाकर्षण और जड़त्व द्रव्यमान की अप्रभेद्यता का मतलब है कि गुरुत्वाकर्षण संपर्क (सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण का नियम) और किसी अन्य के कारण होने वाले त्वरण भी अप्रभेद्य हैं।

उदाहरण 2. 0.5 kg 0.5\ \mathrm(kg) वजन की एक गेंद 0.02 s 0.02\ \mathrm(s) तक के प्रभाव के बाद 10 m/s 10\ \mathrm(m)/\mathrm( with) की गति प्राप्त कर लेती है। औसत प्रभाव बल ज्ञात कीजिए।

समाधान। इस मामले में, न्यूटन के दूसरे नियम को आवेग रूप में चुनना अधिक तर्कसंगत है, अर्थात।क्योंकि प्रारंभिक और अंतिम वेग ज्ञात होते हैं, त्वरण नहीं, और बल की कार्रवाई का समय ज्ञात होता है। यह भी ध्यान रखना चाहिए कि गेंद पर लगने वाला बल न रहेस्थिर। किस नियम के अनुसार समय के साथ बल बदलता है?, नहीं ज्ञात। सरलता के लिए, हम इस धारणा का उपयोग करेंगे कि बल स्थिर है, और यहहम इसे औसत कहेंगे.

फिर ∑ F → = Δ p → t \sum \vec F = \frac(\Delta \vec p)(t), अर्थात F → avg t = Δ p → \vec F_\mathrm(औसत)\ cdot t = \ डेल्टा \vec पी . बल की कार्रवाई की रेखा के साथ निर्देशित अक्ष पर प्रक्षेपण में, हम प्राप्त करते हैं: F cf t = p k - p 0 = m v k F_\mathrm(cf)\cdot t = p_\mathrm(k)-p_0 = mv_\ गणित (k) . अंततः, आवश्यक बल के लिए हमें प्राप्त होता है:

मात्रात्मक रूप से, उत्तर होगा: F avg = 0.5 kg 10 m s 0.02 s = 250 N F_\mathrm(avg) = \frac(0.5\ \mathrm(kg)\cdot 10\ \frac(\ matthrm(m))( \mathrm(s)))(0.02\ \mathrm(s)) = 250\ \mathrm(N) .

एकीकृत राज्य परीक्षा कोडिफायर के विषय:किसी पिंड का संवेग, पिंडों की एक प्रणाली का संवेग, संवेग के संरक्षण का नियम।

नाड़ीकिसी पिंड की एक सदिश राशि है जो पिंड के द्रव्यमान और उसकी गति के गुणनफल के बराबर होती है:

आवेग को मापने के लिए कोई विशेष इकाइयाँ नहीं हैं। संवेग का आयाम केवल द्रव्यमान के आयाम और वेग के आयाम का गुणनफल है:

संवेग की अवधारणा दिलचस्प क्यों है? पता चलता है कि इसकी मदद से आप न्यूटन के दूसरे नियम को थोड़ा अलग, बेहद उपयोगी रूप भी दे सकते हैं।

न्यूटन का दूसरा नियम आवेग रूप में

मान लीजिए यह किसी द्रव्यमान के पिंड पर लगाए गए बलों का परिणाम है। हम न्यूटन के दूसरे नियम के सामान्य संकेतन से शुरुआत करते हैं:

इस बात को ध्यान में रखते हुए कि शरीर का त्वरण वेग वेक्टर के व्युत्पन्न के बराबर है, न्यूटन का दूसरा नियम इस प्रकार फिर से लिखा गया है:

हम व्युत्पन्न चिह्न के अंतर्गत एक स्थिरांक प्रस्तुत करते हैं:

जैसा कि हम देख सकते हैं, आवेग का व्युत्पन्न बाईं ओर प्राप्त होता है:

. ( 1 )

संबंध (1) न्यूटन के दूसरे नियम को लिखने का एक नया रूप है।

न्यूटन का दूसरा नियम आवेग रूप में। किसी पिंड के संवेग का व्युत्पन्न शरीर पर लगाए गए बलों का परिणाम होता है।

हम यह कह सकते हैं: किसी पिंड पर लगने वाला परिणामी बल पिंड के संवेग में परिवर्तन की दर के बराबर होता है।

सूत्र (1) में व्युत्पन्न को अंतिम वेतन वृद्धि के अनुपात से बदला जा सकता है:

. ( 2 )

इस मामले में, समय अंतराल के दौरान शरीर पर एक औसत बल कार्य करता है। मान जितना छोटा होगा, अनुपात व्युत्पन्न के उतना करीब होगा, और किसी दिए गए समय में औसत बल उसके तात्कालिक मूल्य के उतना करीब होगा।

कार्यों में, एक नियम के रूप में, समय अंतराल काफी छोटा होता है। उदाहरण के लिए, यह गेंद के दीवार से टकराने का समय हो सकता है, और फिर प्रभाव के दौरान दीवार से गेंद पर लगने वाला औसत बल हो सकता है।

संबंध के बायीं ओर के सदिश को (2) कहा जाता है आवेग में परिवर्तनदौरान । संवेग में परिवर्तन अंतिम और प्रारंभिक संवेग सदिशों के बीच का अंतर है। अर्थात्, यदि समय के किसी प्रारंभिक क्षण में वस्तु का संवेग है, एक निश्चित अवधि के बाद वस्तु का संवेग है, तो संवेग में परिवर्तन अंतर है:

आइए हम एक बार फिर इस बात पर जोर दें कि संवेग में परिवर्तन सदिशों के बीच का अंतर है (चित्र 1):

उदाहरण के लिए, गेंद दीवार के लंबवत उड़ती है (प्रभाव से पहले की गति बराबर होती है) और गति खोए बिना वापस उछलती है (प्रभाव के बाद की गति बराबर होती है)। इस तथ्य के बावजूद कि आवेग निरपेक्ष मूल्य () में नहीं बदला है, आवेग में परिवर्तन है:

ज्यामितीय रूप से, यह स्थिति चित्र में दिखाई गई है। 2:

संवेग में परिवर्तन का मापांक, जैसा कि हम देखते हैं, गेंद के प्रारंभिक आवेग के मापांक के दोगुने के बराबर है:।

आइए हम सूत्र (2) को इस प्रकार पुनः लिखें:

, ( 3 )

या, ऊपर बताए अनुसार गति में परिवर्तन का वर्णन करते हुए:

मात्रा कहलाती है शक्ति का आवेग.बल आवेग को मापने की कोई विशेष इकाई नहीं है; बल आवेग का आयाम केवल बल और समय के आयामों का उत्पाद है:

(ध्यान दें कि यह किसी पिंड की गति के माप की एक और संभावित इकाई साबित होती है।)

समानता (3) का मौखिक सूत्रीकरण इस प्रकार है: किसी पिंड के संवेग में परिवर्तन किसी निश्चित समयावधि में पिंड पर लगने वाले बल के संवेग के बराबर होता है।निस्संदेह, यह फिर से गति के रूप में न्यूटन का दूसरा नियम है।

बल गणना का उदाहरण

न्यूटन के दूसरे नियम को आवेग के रूप में लागू करने के उदाहरण के रूप में, आइए निम्नलिखित समस्या पर विचार करें।

काम। g द्रव्यमान की एक गेंद, m/s की गति से क्षैतिज रूप से उड़ते हुए, एक चिकनी ऊर्ध्वाधर दीवार से टकराती है और गति खोए बिना उससे उछल जाती है। गेंद का आपतन कोण (अर्थात् गेंद की गति की दिशा और दीवार के लम्ब के बीच का कोण) के बराबर होता है। झटका एस तक रहता है। औसत बल ज्ञात कीजिए,
प्रभाव के दौरान गेंद पर अभिनय करना।

समाधान।आइए सबसे पहले यह दिखाएं कि परावर्तन कोण आपतन कोण के बराबर होता है, यानी गेंद दीवार से उसी कोण पर उछलेगी (चित्र 3)।

(3) के अनुसार हमारे पास है: . इससे यह पता चलता है कि संवेग का वेक्टर बदल जाता है सह-निर्देशन कियावेक्टर के साथ, यानी गेंद के पलटाव की दिशा में दीवार के लंबवत निर्देशित (चित्र 5)।

चावल। 5. कार्य के लिए

वेक्टर और
मापांक में बराबर
(चूँकि गेंद की गति नहीं बदली है)। इसलिए, सदिशों और से बना एक त्रिभुज समद्विबाहु है। इसका मतलब यह है कि सदिशों और के बीच का कोण बराबर है, यानी प्रतिबिंब का कोण वास्तव में आपतन कोण के बराबर है।

अब इसके अतिरिक्त ध्यान दीजिए कि हमारे समद्विबाहु त्रिभुज में एक कोण होता है (यह आपतन कोण है); इसलिए, यह त्रिभुज समबाहु है। यहाँ से:

और फिर गेंद पर लगने वाला वांछित औसत बल है:

निकायों की एक प्रणाली का आवेग

आइए दो-निकाय प्रणाली की एक सरल स्थिति से शुरुआत करें। अर्थात्, क्रमशः आवेगों के साथ शरीर 1 और शरीर 2 होने दें। इन निकायों की प्रणाली का आवेग प्रत्येक शरीर के आवेगों का सदिश योग है:

यह पता चला है कि निकायों की प्रणाली की गति के लिए फॉर्म (1) में न्यूटन के दूसरे नियम के समान एक सूत्र है। आइए इस सूत्र को निकालें.

हम उन सभी अन्य वस्तुओं को कॉल करेंगे जिनके साथ हम जिन निकायों 1 और 2 पर विचार कर रहे हैं वे परस्पर क्रिया करते हैं बाह्य निकाय.वे बल जिनके साथ बाह्य पिंड पिंड 1 और 2 पर कार्य करते हैं, कहलाते हैं बाहरी ताकतों द्वारा.मान लीजिए कि परिणामी बाह्य बल पिंड 1 पर कार्य कर रहा है। इसी प्रकार, मान लें कि परिणामी बाह्य बल पिंड 2 पर कार्य कर रहा है (चित्र 6)।

इसके अलावा, निकाय 1 और 2 एक दूसरे के साथ बातचीत कर सकते हैं। शरीर 2 को शरीर 1 पर बल से कार्य करने दें। फिर पिंड 1, पिंड 2 पर बल से कार्य करता है। न्यूटन के तीसरे नियम के अनुसार, बल परिमाण में समान और दिशा में विपरीत हैं:। बल और हैं आंतरिक बल,सिस्टम में कार्य कर रहा है।

आइए प्रत्येक पिंड 1 और 2 के लिए न्यूटन का दूसरा नियम (1) के रूप में लिखें:

, ( 4 )

. ( 5 )

आइए समानताएँ जोड़ें (4) और (5):

परिणामी समानता के बाईं ओर वैक्टर और के योग के व्युत्पन्न के बराबर व्युत्पन्न का योग है। न्यूटन के तीसरे नियम के आधार पर, दाईं ओर हमारे पास है:

लेकिन - यह निकाय 1 और 2 की प्रणाली का आवेग है। आइए हम यह भी निरूपित करें - यह प्रणाली पर कार्य करने वाली बाहरी शक्तियों का परिणाम है। हम पाते हैं:

. ( 6 )

इस प्रकार, निकायों की एक प्रणाली की गति में परिवर्तन की दर प्रणाली पर लागू बाहरी बलों का परिणाम है।हम समानता (6) प्राप्त करना चाहते थे, जो निकायों की प्रणाली के लिए न्यूटन के दूसरे नियम की भूमिका निभाता है।

सूत्र (6) दो निकायों के मामले के लिए निकाला गया था। आइए अब हम सिस्टम में निकायों की मनमानी संख्या के मामले में अपने तर्क को सामान्यीकृत करें।

शरीर तंत्र के आवेग सेपिंड प्रणाली में शामिल सभी पिंडों के संवेग का सदिश योग है। यदि किसी प्रणाली में निकाय शामिल हैं, तो इस प्रणाली की गति बराबर है:

फिर सब कुछ बिल्कुल ऊपर बताए अनुसार ही किया जाता है (केवल तकनीकी रूप से यह थोड़ा अधिक जटिल दिखता है)। यदि प्रत्येक निकाय के लिए हम (4) और (5) के समान समानताएं लिखते हैं, और फिर इन सभी समानताओं को जोड़ते हैं, तो बाईं ओर हम फिर से सिस्टम की गति का व्युत्पन्न प्राप्त करते हैं, और दाईं ओर केवल शेष रहता है बाहरी बलों का योग (आंतरिक बल, जोड़े में जोड़ने पर, न्यूटन के तीसरे नियम के कारण शून्य होगा)। अत: समानता (6) सामान्य स्थिति में वैध रहेगी।

संवेग संरक्षण का नियम

शरीरों की व्यवस्था कहलाती है बंद किया हुआ,यदि किसी दिए गए सिस्टम के निकायों पर बाहरी निकायों की क्रियाएं या तो नगण्य हैं या एक दूसरे की क्षतिपूर्ति करती हैं। इस प्रकार, निकायों की एक बंद प्रणाली के मामले में, केवल इन निकायों की एक दूसरे के साथ बातचीत आवश्यक है, लेकिन किसी अन्य निकाय के साथ नहीं।

एक बंद प्रणाली पर लागू बाहरी बलों का परिणाम शून्य के बराबर है:। इस मामले में, (6) से हम प्राप्त करते हैं:

लेकिन यदि किसी वेक्टर का व्युत्पन्न गायब हो जाता है (वेक्टर के परिवर्तन की दर शून्य है), तो वेक्टर स्वयं समय के साथ नहीं बदलता है:

संवेग संरक्षण का नियम. निकायों की एक बंद प्रणाली की गति इस प्रणाली के भीतर निकायों की किसी भी बातचीत के लिए समय के साथ स्थिर रहती है।

संवेग संरक्षण के नियम पर सबसे सरल समस्याओं को मानक योजना के अनुसार हल किया जाता है, जिसे अब हम दिखाएंगे।

काम। g द्रव्यमान का एक पिंड चिकनी क्षैतिज सतह पर m/s की गति से चलता है। g द्रव्यमान का एक पिंड m/s की गति से उसकी ओर बढ़ता है। एक बिल्कुल बेलोचदार प्रभाव होता है (शरीर एक साथ चिपक जाते हैं)। टक्कर के बाद शवों की गति ज्ञात कीजिए।

समाधान।स्थिति चित्र में दिखाई गई है। 7. आइए अक्ष को पहले पिंड की गति की दिशा में निर्देशित करें।

चावल। 7. कार्य के लिए

क्योंकि सतह चिकनी है, कोई घर्षण नहीं है। चूँकि सतह क्षैतिज है और इसके साथ गति होती है, गुरुत्वाकर्षण बल और समर्थन की प्रतिक्रिया एक दूसरे को संतुलित करती है:

इस प्रकार, इन निकायों की प्रणाली पर लागू बलों का वेक्टर योग शून्य के बराबर है। इसका मतलब है कि निकायों की प्रणाली बंद है. इसलिए, संवेग संरक्षण का नियम इसके लिए संतुष्ट है:

. ( 7 )

प्रभाव से पहले प्रणाली का आवेग निकायों के आवेगों का योग है:

बेलोचदार प्रभाव के बाद, द्रव्यमान का एक पिंड प्राप्त होता है, जो वांछित गति से चलता है:

संवेग संरक्षण के नियम (7) से हमें प्राप्त होता है:

यहां से हम प्रभाव के बाद बने पिंड की गति का पता लगाते हैं:

आइए अक्ष पर प्रक्षेपणों की ओर बढ़ें:

शर्त के अनुसार हमारे पास है: एम/एस, एम/एस, तो

ऋण चिह्न दर्शाता है कि आपस में चिपके हुए पिंड अक्ष के विपरीत दिशा में गति करते हैं। आवश्यक गति: एम/एस.

संवेग प्रक्षेपण के संरक्षण का नियम

समस्याओं में अक्सर निम्न स्थिति उत्पन्न होती है। निकायों की प्रणाली बंद नहीं है (सिस्टम पर कार्य करने वाले बाहरी बलों का वेक्टर योग शून्य के बराबर नहीं है), लेकिन एक ऐसी धुरी है, अक्ष पर बाह्य बलों के प्रक्षेपण का योग शून्य हैदिये गये समय पर। तब हम कह सकते हैं कि इस धुरी के साथ हमारे निकायों की प्रणाली बंद व्यवहार करती है, और धुरी पर सिस्टम की गति का प्रक्षेपण संरक्षित रहता है।

आइये इसे और सख्ती से दिखाते हैं. आइए समानता (6) को अक्ष पर प्रक्षेपित करें:

यदि परिणामी बाह्य शक्तियों का प्रक्षेपण लुप्त हो जाए, तो

इसलिए, प्रक्षेपण एक स्थिरांक है:

संवेग प्रक्षेपण के संरक्षण का नियम. यदि सिस्टम पर कार्य करने वाले बाहरी बलों के योग के अक्ष पर प्रक्षेपण शून्य के बराबर है, तो सिस्टम की गति का प्रक्षेपण समय के साथ नहीं बदलता है।

आइए एक विशिष्ट समस्या का उदाहरण देखें कि संवेग प्रक्षेपण के संरक्षण का नियम कैसे काम करता है।

काम। एक द्रव्यमान लड़का, चिकनी बर्फ पर स्केट्स पर खड़ा होकर, क्षैतिज से एक कोण पर एक द्रव्यमान पत्थर फेंकता है। वह गति ज्ञात कीजिए जिसके साथ लड़का फेंकने के बाद वापस लुढ़कता है।

समाधान।स्थिति को चित्र में योजनाबद्ध रूप से दिखाया गया है। 8 . लड़के को सीधा-सरल दिखाया गया है।

चावल। 8. कार्य के लिए

"लड़का + पत्थर" प्रणाली की गति संरक्षित नहीं है। इसे इस तथ्य से देखा जा सकता है कि फेंकने के बाद, सिस्टम की गति का एक ऊर्ध्वाधर घटक दिखाई देता है (अर्थात्, पत्थर की गति का ऊर्ध्वाधर घटक), जो फेंकने से पहले नहीं था।

इसलिए, वह प्रणाली जो लड़के और पत्थर के रूप में बंद नहीं होती है। क्यों? तथ्य यह है कि फेंकने के दौरान बाहरी बलों का वेक्टर योग शून्य के बराबर नहीं होता है। मूल्य योग से अधिक है, और इस अतिरिक्त के कारण, सिस्टम की गति का ऊर्ध्वाधर घटक प्रकट होता है।

हालाँकि, बाहरी ताकतें केवल लंबवत रूप से कार्य करती हैं (कोई घर्षण नहीं है)। इसलिए, क्षैतिज अक्ष पर आवेग का प्रक्षेपण संरक्षित है। थ्रो से पहले यह प्रक्षेपण शून्य था। अक्ष को थ्रो की दिशा में निर्देशित करना (ताकि लड़का नकारात्मक अर्ध-अक्ष की दिशा में चला जाए), हमें मिलता है।