Не только простые числа можно сравнивать, но и дроби тоже. Ведь дробь — это такое же число как, к примеру, и натуральные числа. Нужно знать только правила, по которым сравнивают дроби.

Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями.

Если у двух дробей одинаковые знаменатели, то такие дроби сравнить просто.

Чтобы сравнить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сравнить их числители. Та дробь больше у которой больше числитель.

Рассмотрим пример:

Сравните дроби \(\frac{7}{26}\) и \(\frac{13}{26}\).

Знаменатели у обоих дробей одинаковые равны 26, поэтому сравниваем числители. Число 13 больше 7. Получаем:

\(\frac{7}{26} < \frac{13}{26}\)

Сравнение дробей с равными числителями.

Если у дроби одинаковые числители, то больше та дробь, у которой знаменатель меньше.

Понять это правило можно, если привести пример из жизни. У нас есть торт. К нам в гости могут прийти 5 или 11 гостей. Если придут 5 гостей, то мы разрежем торт на 5 равных кусков, а если придут 11 гостей, то разделим на 11 равных кусков. А теперь подумайте в каком случаем на одного гостя придется кусок торта большего размера? Конечно, когда придут 5 гостей, кусок торта будет больше.

Или еще пример. У нас есть 20 конфет. Мы можем поровну раздать конфеты 4 друзьям или поровну поделить конфеты между 10 друзьями. В каком случае у каждого друга будет конфет больше? Конечно, когда мы разделим только на 4 друзей, количество конфет у каждого друга будет больше. Проверим эту задачу математически.

\(\frac{20}{4} > \frac{20}{10}\)

Если мы до решаем эти дроби, то получим числа \(\frac{20}{4} = 5\) и \(\frac{20}{10} = 2\). Получаем, что 5 > 2

В этом и заключается правило сравнения дробей с одинаковыми числителями.

Рассмотрим еще пример.

Сравните дроби с одинаковым числителем \(\frac{1}{17}\) и \(\frac{1}{15}\) .

Так как числители одинаковые, больше та дробь, где знаменатель меньше.

\(\frac{1}{17} < \frac{1}{15}\)

Сравнение дробей с разными знаменателями и числителями.

Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, необходимо дроби привести к , а потом сравнить числители.

Сравните дроби \(\frac{2}{3}\) и \(\frac{5}{7}\).

Сначала найдем общий знаменатель дробей. Он будет равен числу 21.

\(\begin{align}&\frac{2}{3} = \frac{2 \times 7}{3 \times 7} = \frac{14}{21}\\\\&\frac{5}{7} = \frac{5 \times 3}{7 \times 3} = \frac{15}{21}\\\\ \end{align}\)

Потом переходим к сравнению числителей. Правило сравнения дробей с одинаковыми знаменателями.

\(\begin{align}&\frac{14}{21} < \frac{15}{21}\\\\&\frac{2}{3} < \frac{5}{7}\\\\ \end{align}\)

Сравнение .

Неправильная дробь всегда больше правильной. Потому что неправильная дробь больше 1, а правильная дробь меньше 1.

Пример:
Сравните дроби \(\frac{11}{13}\) и \(\frac{8}{7}\).

Дробь \(\frac{8}{7}\) неправильная и она больше 1.

\(1 < \frac{8}{7}\)

Дробь \(\frac{11}{13}\) правильная и она меньше 1. Сравниваем:

\(1 > \frac{11}{13}\)

Получаем, \(\frac{11}{13} < \frac{8}{7}\)

Вопросы по теме:
Как сравнить дроби с разными знаменателями?
Ответ: надо привести к общему знаменателю дроби и потом сравнить их числители.

Как сравнивать дроби?
Ответ: сначала нужно определиться к какой категории относятся дроби: у них есть общий знаменатель, у них есть общий числитель, у них нет общего знаменателя и числителя или у вас правильная и неправильная дробь. После классификации дробей применить соответствующее правило сравнения.

Что такое сравнение дробей с одинаковыми числителями?
Ответ: если у дробей одинаковые числители, та дробь больше у которой знаменатель меньше.

Пример №1:
Сравните дроби \(\frac{11}{12}\) и \(\frac{13}{16}\).

Решение:
Так как нет одинаковых числителей или знаменателей, применяем правило сравнения с разными знаменателями. Нужно найти общий знаменатель. Общий знаменатель будет равен 96. Приведем дроби к общему знаменателю. Первую дробь \(\frac{11}{12}\) умножим на дополнительный множитель 8, а вторую дробь \(\frac{13}{16}\) умножим на 6.

\(\begin{align}&\frac{11}{12} = \frac{11 \times 8}{12 \times 8} = \frac{88}{96}\\\\&\frac{13}{16} = \frac{13 \times 6}{16 \times 6} = \frac{78}{96}\\\\ \end{align}\)

Сравниваем дроби числителями, та дробь больше у которой числитель больше.

\(\begin{align}&\frac{88}{96} > \frac{78}{96}\\\\&\frac{11}{12} > \frac{13}{16}\\\\ \end{align}\)

Пример №2:
Сравните правильную дробь с единицей?

Решение:
Любая правильная дробь всегда меньше 1.

Задача №1:
Сын с отцом играли в футбол. Сын из 10 подходов в ворота попал 5 раз. А папа из 5 подходов попал в ворота 3 раза. Чей результат лучше?

Решение:
Сын попал из 10 возможных подходов 5 раз. Запишем в виде дроби \(\frac{5}{10} \).
Папа попал из 5 возможных подходов 3 раз. Запишем в виде дроби \(\frac{3}{5} \).

Сравним дроби. У нас разные числители и знаменатели, приведем к одному знаменателю. Общий знаменатель будет равен 10.

\(\begin{align}&\frac{3}{5} = \frac{3 \times 2}{5 \times 2} = \frac{6}{10}\\\\&\frac{5}{10} < \frac{6}{10}\\\\&\frac{5}{10} < \frac{3}{5}\\\\ \end{align}\)

Ответ: у папы результат лучше.

Продолжаем изучать дроби. Сегодня мы поговорим об их сравнении. Тема интересная и полезная. Она позволит новичку почувствовать себя учёным в белом халате.

Суть сравнения дробей заключается в том, чтобы узнать какая из двух дробей больше или меньше.

Чтобы ответить на вопрос какая из двух дробей больше или меньше, пользуются , такими как больше (>) или меньше (<).

Ученые-математики уже позаботились о готовых правилах, позволяющие сразу ответить на вопрос какая дробь больше, а какая меньше. Эти правила можно смело применять.

Мы рассмотрим все эти правила и попробуем разобраться, почему происходит именно так.

Содержание урока

Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями

Дроби, которые нужно сравнить, попадаются разные. Самый удачный случай это когда у дробей одинаковые знаменатели, но разные числители. В этом случае применяют следующее правило:

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, у которой числитель больше. И соответственно меньше будет та дробь, у которой числитель меньше.

Например, сравним дроби и и ответим, какая из этих дробей больше. Здесь одинаковые знаменатели, но разные числители. У дроби числитель больше, чем у дроби . Значит дробь больше, чем . Так и отвечаем. Отвечать нужно с помощью значка больше (>)

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццы, которые разделены на четыре части. пиццы больше, чем пиццы:

Каждый согласится с тем, что первая пицца больше, чем вторая.

Сравнение дробей с одинаковыми числителями

Следующий случай, в который мы можем попасть, это когда числители дробей одинаковые, но знаменатели разные. Для таких случаев предусмотрено следующее правило:

Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та дробь, у которой знаменатель меньше. И соответственно меньше та дробь, у которой знаменатель больше.

Например, сравним дроби и . У этих дробей одинаковые числители. У дроби знаменатель меньше, чем у дроби . Значит дробь больше, чем дробь . Так и отвечаем:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццы, которые разделены на три и четыре части. пиццы больше, чем пиццы:

Каждый согласиться с тем, что первая пицца больше, чем вторая.

Сравнение дробей с разными числителями и разными знаменателями

Нередко случается так, что приходиться сравнивать дроби с разными числителями и разными знаменателями.

Например, сравнить дроби и . Чтобы ответить на вопрос, какая из этих дробей больше или меньше, нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю. Затем можно будет легко определить какая дробь больше или меньше.

Приведём дроби и к одинаковому (общему) знаменателю. Найдём (НОК) знаменателей обеих дробей. НОК знаменателей дробей и это число 6.

Теперь находим дополнительные множители для каждой дроби. Разделим НОК на знаменатель первой дроби . НОК это число 6, а знаменатель первой дроби это число 2. Делим 6 на 2, получаем дополнительный множитель 3. Записываем его над первой дробью:

Теперь найдём второй дополнительный множитель. Разделим НОК на знаменатель второй дроби . НОК это число 6, а знаменатель второй дроби это число 3. Делим 6 на 3, получаем дополнительный множитель 2. Записываем его над второй дробью:

Умножим дроби на свои дополнительные множители:

Мы пришли к тому, что дроби, у которых были разные знаменатели, превратились в дроби, у которых одинаковые знаменатели. А как сравнивать такие дроби мы уже знаем. Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, у которой числитель больше:

Правило правилом, а мы попробуем разобраться почему больше, чем . Для этого выделим целую часть в дроби . В дроби ничего выделять не нужно, поскольку эта дробь уже правильная.

После выделения целой части в дроби , получим следующее выражение:

Теперь можно легко понять, почему больше, чем . Давайте нарисуем эти дроби в виде пицц:

2 целые пиццы и пиццы, больше чем пиццы.

Вычитание смешанных чисел. Сложные случаи.

Вычитая смешанные числа, иногда можно обнаружить, что всё идёт не так гладко, как хотелось бы. Часто случается так, что при решении какого-нибудь примера ответ получается не таким, каким он должен быть.

При вычитании чисел уменьшаемое должно быть больше вычитаемого. Только в этом случае будет получен нормальный ответ.

Например, 10−8=2

10 — уменьшаемое

8 — вычитаемое

2 — разность

Уменьшаемое 10 больше вычитаемого 8, поэтому мы получили нормальный ответ 2.

А теперь посмотрим, что будет если уменьшаемое окажется меньше вычитаемого. Пример 5−7=−2

5 — уменьшаемое

7 — вычитаемое

−2 — разность

В этом случае мы выходим за пределы привычных для нас чисел и попадаем в мир отрицательных чисел, где нам ходить пока рано, а то и опасно. Чтобы работать с отрицательными числами, нужна соответствующая математическая подготовка, которую мы ещё не получили.

Если при решении примеров на вычитание вы обнаружите, что уменьшаемое меньше вычитаемого, то можете пока пропустить такой пример. Работать с отрицательными числами допустимо только после их изучения.

С дробями ситуация та же самая. Уменьшаемое должно быть больше вычитаемого. Только в этом случае можно будет получить нормальный ответ. А чтобы понять больше ли уменьшаемая дробь, чем вычитаемая, нужно уметь сравнить эти дроби.

Например, решим пример .

Это пример на вычитание. Чтобы решить его, нужно проверить больше ли уменьшаемая дробь, чем вычитаемая. больше чем

поэтому смело можем вернуться к примеру и решить его:

Теперь решим такой пример

Проверяем больше ли уменьшаемая дробь, чем вычитаемая. Обнаруживаем, что она меньше:

В этом случае разумнее остановиться и не продолжать дальнейшее вычисление. Вернёмся к этому примеру, когда изучим отрицательные числа.

Смешанные числа перед вычитанием тоже желательно проверять. Например, найдём значение выражения .

Сначала проверим больше ли уменьшаемое смешанное число, чем вычитаемое. Для этого переведём смешанные числа в неправильные дроби:

Получили дроби с разными числителями и разными знаменателями. Чтобы сравнить такие дроби, нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю. Не будем подробно расписывать, как это сделать. Если испытываете затруднения, обязательно повторите .

После приведения дробей к одинаковому знаменателю, получаем следующее выражение:

Теперь нужно сравнить дроби и . Это дроби с одинаковыми знаменателями. Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, у которой числитель больше.

У дроби числитель больше, чем у дроби . Значит дробь больше, чем дробь .

А это значит, что уменьшаемое больше, чем вычитаемое

А значит мы можем вернуться к нашему примеру и смело решить его:

Пример 3. Найти значение выражения

Проверим больше ли уменьшаемое, чем вычитаемое.

Переведём смешанные числа в неправильные дроби:

Получили дроби с разными числителями и разными знаменателями. Приведем данные дроби к одинаковому (общему) знаменателю.

Две неравные дроби подлежат дальнейшему сравнению для выяснения, какая дробь больше, а какая дробь меньше. Для сравнения двух дробей существует правило сравнения дробей, которое мы сформулируем ниже, а также разберем примеры применения этого правила при сравнении дробей с одинаковыми и разными знаменателями. В заключение покажем, как сравнить дроби с одинаковыми числителями, не приводя их к общему знаменателю, а также рассмотрим, как сравнить обыкновенную дробь с натуральным числом.

Навигация по странице.

Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями

Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями по сути является сравнением количества одинаковых долей. К примеру, обыкновенная дробь 3/7 определяет 3 доли 1/7 , а дробь 8/7 соответствует 8 долям 1/7 , поэтому сравнение дробей с одинаковыми знаменателями 3/7 и 8/7 сводится к сравнению чисел 3 и 8 , то есть, к сравнению числителей.

Из этих соображений вытекает правило сравнения дробей с одинаковыми знаменателями : из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, числитель которой больше, и меньше та дробь, числитель которой меньше.

Озвученное правило объясняет, как сравнить дроби с одинаковыми знаменателями. Рассмотрим пример применения правила сравнения дробей с одинаковыми знаменателями.

Пример.

Какая дробь больше: 65/126 или 87/126 ?

Решение.

Знаменатели сравниваемых обыкновенных дробей равны, а числитель 87 дроби 87/126 больше числителя 65 дроби 65/126 (при необходимости смотрите сравнение натуральных чисел). Поэтому, согласно правилу сравнения дробей с одинаковыми знаменателями, дробь 87/126 больше дроби 65/126 .

Ответ:

Сравнение дробей с разными знаменателями

Сравнение дробей с разными знаменателями можно свести к сравнению дробей с одинаковыми знаменателями. Для этого лишь нужно сравниваемые обыкновенные дроби привести к общему знаменателю .

Итак, чтобы сравнить две дроби с разными знаменателями, нужно

• привести дроби к общему знаменателю;
• сравнить полученные дроби с одинаковыми знаменателями.

Разберем решение примера.

Пример.

Сравните дробь 5/12 с дробью 9/16 .

Решение.

Сначала приведем данные дроби с разными знаменателями к общему знаменателю (смотрите правило и примеры приведения дробей к общему знаменателю). В качестве общего знаменателя возьмем наименьший общий знаменатель, равный НОК(12, 16)=48 . Тогда дополнительным множителем дроби 5/12 будет число 48:12=4 , а дополнительным множителем дроби 9/16 будет число 48:16=3 . Получаем и .

Сравнив полученные дроби, имеем . Следовательно, дробь 5/12 меньше, чем дробь 9/16 . На этом сравнение дробей с разными знаменателями завершено.

Ответ:

Получим еще один способ сравнения дробей с разными знаменателями, который позволит выполнять сравнение дробей без их приведения к общему знаменателю и всех сложностей, связанных с этим процессом.

Для сравнения дробей a/b и c/d , их можно привести к общему знаменателю b·d , равному произведению знаменателей сравниваемых дробей. В этом случае дополнительными множителями дробей a/b и c/d являются числа d и b соответственно, а исходные дроби приводятся к дробям и с общим знаменателем b·d . Вспомнив правило сравнения дробей с одинаковыми знаменателями, заключаем, что сравнение исходных дробей a/b и c/d свелось к сравнению произведений a·d и c·b .

Отсюда вытекает следующее правило сравнения дробей с разными знаменателями : если a·d>b·c , то , а если a·d

Рассмотрим сравнение дробей с разными знаменателями этим способом.

Пример.

Сравните обыкновенные дроби 5/18 и 23/86 .

Решение.

В этом примере a=5 , b=18 , c=23 и d=86 . Вычислим произведения a·d и b·c . Имеем a·d=5·86=430 и b·c=18·23=414 . Так как 430>414 , то дробь 5/18 больше, чем дробь 23/86 .

Ответ:

Сравнение дробей с одинаковыми числителями

Дроби с одинаковыми числителями и разными знаменателями, несомненно, можно сравнивать с помощью правил, разобранных в предыдущем пункте. Однако, результат сравнения таких дробей легко получить, сравнив знаменатели этих дробей.

Существует такое правило сравнения дробей с одинаковыми числителями : из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой меньше знаменатель, и меньше та дробь, знаменатель которой больше.

Рассмотрим решение примера.

Пример.

Сравните дроби 54/19 и 54/31 .

Решение.

Так как числители сравниваемых дробей равны, а знаменатель 19 дроби 54/19 меньше знаменателя 31 дроби 54/31 , то 54/19 больше 54/31 .

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше, и меньше та, у которой числитель меньше . На самом деле, ведь знаменатель показывает, на сколько частей разделили одну целую величину, а числитель показывает, сколько таких частей взяли.

Получается, что делили каждый целый круг на одно и то же число 5 , а брали разное количество частей: больше взяли — большая дробь и получилась.

Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше, и меньше та, у которой знаменатель больше. Ну и, в самом деле, если мы один круг разделим на 8 частей, а другой на 5 частей и возьмем по одной части от каждого из кругов. Какая часть будет больше?

Конечно, от круга, поделенного на 5 частей! А теперь представьте, что делили не круги, а торты. Вы бы какой кусочек предпочли, точнее, какую долю: пятую или восьмую?

Чтобы сравнить дроби с разными числителями и разными знаменателями, надо привести дроби к наименьшему общему знаменателю, а затем сравнивать дроби с одинаковыми знаменателями.

Примеры. Сравнить обыкновенные дроби:

Приведем эти дроби к наименьшему общему знаменателю. НОЗ(4; 6)=12. Находим дополнительные множители для каждой из дробей. Для 1-й дроби дополнительный множитель 3 (12: 4=3 ). Для 2-й дроби дополнительный множитель 2 (12: 6=2 ). Теперь сравниваем числители двух получившихся дробей с одинаковыми знаменателями. Так как числитель первой дроби меньше числителя второй дроби (9<10) , то и сама первая дробь меньше второй дроби.