Геометрическое место точек в пространстве, равноудаленных от точек окружности верхнего основания, есть прямая, содержащая ось цилиндра; она же является геометрическим местом точек, равноудаленных от точек окружности нижнего основания. Очевидно, что точка, равноудаленная от точек окружностей оснований, есть середина оси цилиндра. Она является центром описанной сферы.

Около всякого цилиндра можно описать сферу.

2.Конус и сфера.

Определение 2.2.1.

Конус (усеченный конус) называется вписанным в сферу, если окружность основания конуса и вершина конуса (окружности оснований усеченного конуса) принадлежат сфере.

Определение 2.2.2.

Если конус (усеченный конус) вписан в сферу, то сфера называется описанной около конуса.

Центр S описанной около конуса сферы – это точка, равноудаленная от вершины конуса и точек окружности основания.

Геометрическое место точек в пространстве, равноудаленных от точек окружности основания, - прямая, содержащая ось конуса (АО). Чтобы найти на этой прямой точку, равноудаленную от вершины А и точки С (а значит, и от каждой точки окружности), проведем через середину АС перпендикулярную ему плоскость, которая пересечет прямую ОА в некоторой точке S. Эта точка, равноудаленная от всех точек основания и вершины конуса, и является центром описанной около этого конуса сферы радиусом SA.

Таким образом, S – центр описанной около конуса сферы.

Около всякого конуса можно описать сферу.

Если конус усеченный, то центр О описанной сферы – это точка, равноудаленная от всех точек окружностей верхнего и нижнего оснований.

Геометрическое место точек в пространстве, равноудаленных от всех точек окружности верхнего и нижнего оснований, совпадают – это прямая, содержащая ось KL.

Чтобы найти на ней центр описанной сферы, рассмотрим осевое сечение АА1В1В и проведем серединный перпендикуляр к отрезку АА1. Он пересечет прямую KL в некоторой точке О, которая будет равноудалена от точек А и А1, а значит, и от всех точек окружности верхнего и нижнего оснований.

Около всякого усеченного конуса (прямого кругового) можно описать сферу.

3.Призма и сфера.

Определение 2.3.1.

Призма называется вписанной в сферу, если все ее вершины лежат на поверхности сферы.

Определение 2.3.2.

Если призма вписана в сферу, то сфера называется описанной около призмы.

Центр О* описанной около призмы сферы - это точка, равноудаленная от всех вершин призмы.

Рассмотрим правильную треугольную призму АВСА1В1С1. Если О – центр окружности, описанной около треугольника АВС, а О1- около треугольника А1В1С1, то прямая ОО1 (она перпендикулярна плоскостям основания) является геометрическим местом точек, равноудаленных от вершин А, В, С; она же является геометрическим местом точек, равноудаленных от вершин А1,В1,С1. Осталось найти на этой прямой точку, равноудаленную от всех вершин призмы. Очевидно, что это середина отрезка ОО1- точка О*: АО*=ВО*=СО*=А1О*=В1О*=С1О*. Таким образом, точка О*- центр описанной около призмы АВСА1В1С1 сферы.

Около любой правильной призмы всегда можно описать сферу.

Следует отметить, что описать сферу можно также около прямой призмы, в основании которой лежит произвольный многоугольник, если около него можно описать окружность.

Наклонную призму в сферу нельзя вписать, так как не существует точки, равноудаленной от всех ее вершин. Рассмотрим наклонную призму, в основании которой квадрат.

Геометрическое место точек в пространстве, равноудаленных от вершин А,В,С и D - перпендикуляр ОХ к плоскости основания, от вершин А1, В1, С1, D1- перпендикуляр О1Y (О, О1 центры окружностей, описанных около квадратов АВСD и А1В1С1D1 соответственно). Так как основания призмы параллельны, то параллельны и перпендикуляры к ним, то есть ОХ׀׀О1Y, а следовательно не существует точки, равноудаленной от всех вершин наклонной призмы (чтобы она существовала, прямые ОХ и О1Y должны пересекаться).

4.Пирамида и сфера.

Определение 2.4.1. Пирамида (усеченная пирамида) называется вписанной в сферу, если все ее вершины лежат на поверхности сферы.

Определение 2.4.2.

Если пирамида (усеченная пирамида) вписана в сферу, то сфера называется описанной около пирамида (усеченная пирамида).

Центр О’ описанной около пирамиды сферы – точка, равноудаленная от вершин пирамиды.

Рассмотрим правильную треугольную пирамиду SАВС.

Геометрическое место точек в пространстве равноудаленных от трех данных, есть прямая, являющаяся линией пересечения плоскостей, проходящих через середины отрезков, образованных данными точками, перпендикулярно им. Другими словами, это перпендикуляр, восстановленный к плоскости треугольника, образованного данными точками, в центре описанной около него окружности. В данном случае прямая ОК – это геометрическое место точек, равноудаленных от вершин А, В и С. Чтобы найти на этой прямой точку, равноудаленную от вершин S и С (а значит, и от А и В), проведем через середину SС перпендикулярную ему плоскость, которая пересечет прямую ОК в некоторой точке О’. Эта точка, равноудаленная от всех вершин пирамиды и является центром описанной около этой пирамиды сферы. Следовательно, описать сферу можно около любой пирамиды в основании которой правильный многоугольник. Это возможно и в том случае, когда в основании пирамиды лежит произвольный многоугольник, если он вписывается в окружность.

Рассмотрим усеченную пирамиду АВСА1В1С1, высота ОО1 которой соединяет центры верхнего и нижнего оснований, являющихся правильными треугольниками.

Центр описанной сферы - это точка равноудаленная от всех вершин многогранника. Эта точка находится на прямой ОО1, являющейся геометрическим местом точек, равноудаленных от вершин А, В, С и от вершин А1, В1, С1 (О и О1 – центры описанных окружностей около треугольников АВС и А1В1С1 соответственно). Проведем через середину бокового ребра, например, АА1 перпендикулярную ему плоскость, которая пересечет прямую ОО1 в некоторой точке S. Из треугольника АА1S видно, что точка S равноудалена от вершин А (а значит, и от В1 и С1). Таким образом, мы определим центр описанной сферы: это точка S.

Если бы усеченная пирамида была образована от пирамиды, у которой вершина проектируется не в центр основания, то такой точки S бы не существовало, то есть описать сферу было бы невозможно (ведь геометрические места точек в пространстве, равноудаленных от вершин нижнего основания и от вершин верхнего основания усеченной пирамиды, не пересекались бы).

Если в основании прямой усеченной пирамиды будут лежать произвольные выпуклые многоугольники, которые можно будет вписывать в окружность, то такую усеченную пирамиду можно будет вписать в сферу.

Сфера, вписанная в цилиндр

Сфера называется вписанной в цилиндр, если она касается его оснований и боковой поверхности (касается каждой образующей). При этом цилиндр называется описанным около сферы.

В цилиндр можно вписать сферу, если высота цилиндра равна

диаметру его основания.

Ее центром будет точка O , являющаяся

серединой отрезка, соединяющего центры оснований O 1 и O 2 цилиндра.

Радиус сферы R будет равен

радиусу окружности основания цилиндра.

Упражнение 1

В цилиндр высоты 2 вписана сфера. Найдите ее радиус.

Упражнение 2

В цилиндр вписана сфера радиуса 1. Найдите высоту цилиндра.

Упражнение 3

2. Какой должна быть высота цилиндра, чтобы в него можно было вписать сферу?

Упражнение 4

Высота цилиндра равна 2. Каким должен быть радиус основания цилиндра, чтобы в него можно было вписать сферу?

Упражнение 5

Осевым сечением цилиндра является прямоугольник со сторонами 1 и 2. Можно ли в этот цилиндр вписать сферу?

Ответ: Нет.

Упражнение 6

Осевым сечением цилиндра является квадрат. Можно ли в этот цилиндр вписать сферу?

Ответ: Да.

Упражнение 7

Можно ли вписать сферу в цилиндр, осевым сечением которого является ромб?

Ответ: Нет.

Упражнение 8

Можно ли вписать сферу в наклонный цилиндр?

Ответ: Нет.

Упражнение 9

Площадь осевого сечения цилиндра, в который вписана сфера, равна 4 см 2 . Найдите диаметр сферы.

Ответ: 2 см.

Упражнение 10

Периметр осевого сечения цилиндра, в который вписана сфера, равен 8 см. Найдите радиус сферы.

Ответ: 1 см.

Упражнение 1 1

Какой наибольший радиус может быть у сферы, помещающейся в цилиндр, радиус основания которого равен 2, и высота 1.

Ответ: 0,5 см.

Упражнение 12

Можно ли сферу радиуса 1 поместить в наклонный цилиндр, радиус основания которого равен 1, а боковое ребро равно 2 и наклонено к плоскости основания под углом 60 о.

Ответ: Нет.

Упражнение 13

Какой наибольший радиус может быть у сферы, помещающейся в наклонный цилиндр, радиус основания которого равен 1, а боковое ребро равно 2 и наклонено к плоскости основания под углом 60 о.

Сфера, описанная около цилиндра

Цилиндр называется вписанным в сферу, если окружности оснований цилиндра лежат на сфере. При этом сфера называется описанной около цилиндра.

Около любого цилиндра можно описать сферу. Ее центром будет точка O , являющаяся серединой отрезка, соединяющего центры оснований O 1 и O 2 цилиндра.

Радиус сферы R вычисляется по формуле

где h – высота цилиндра, r – радиус окружности основания.

В режиме слайдов ответы и решения появляются после кликанья мышкой

Упражнение 1

Диагональ осевого сечения цилиндра равна 2. Найдите радиус сферы, описанной около этого цилиндра.

Упражнение 2

Около цилиндра высоты 2 и радиуса основания 1 описана сфера. Найдите ее радиус.

Упражнение 3

Около цилиндра, радиус основания которого равен 1, описана сфера радиуса 2. Найдите высоту цилиндра.

Упражнение 4

Около цилиндра, высота которого равна 1, описана сфера радиуса 1. Найдите радиус основания цилиндра.

Упражнение 5

Найдите наименьший радиус сферы, в которую помещается наклонный цилиндр, радиус основания которого равен 1, образующая равна 2 и наклонена к плоскости основания под углом 60 о.

Цилиндр, вписанный в призму

Ц илиндр называется вписанным в призму, если е го основания в писаны в основани я цилиндра. При этом, призма называется описанной около цилиндра

В призму можно вписать цилиндр тогда и только тогда, когда

в ее основание можно вписать окружность.

Радиус основания цилиндра равен

радиусу окружности, вписанной в основание призмы.

В режиме слайдов ответы и решения появляются после кликанья мышкой

Высота цилиндра равна

высоте призмы.

Упражнение 1

Можно ли вписать цилиндр в наклонную призму?

Ответ: Да, наклонный цилиндр.

Упражнение 2

В основании прямой призмы правильный треугольник со стороной 1. Найдите радиус окружности основания цилиндра, вписанного в эту призму.

Упражнение 3

В основании прямой призмы прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Найдите радиус окружности основания цилиндра, вписанного в эту призму.

Упражнение 4

Найдите радиус окружности основания цилиндра, вписанного в единичный куб.

Упражнение 5

В правильную шестиугольную призму, со стороной основания 1, вписан цилиндр. Найдите радиус окружности основания этого цилиндра.

Цилиндр, описанный около призмы

Ц илиндр называется описанным около призмы, если е го основания о писаны около основани й цилиндра. При этом, п ризма называется вписанной в цилиндр

Около призмы можно описать цилиндр, если около ее оснований можно описать окружности.

Радиус основания цилиндра равен

радиусу окружности, описанной около основания призмы.

В режиме слайдов ответы и решения появляются после кликанья мышкой

Высота цилиндра равна

высоте призмы.

Упражнение 1

Можно ли описать цилиндр около наклонной призмы?

Ответ: Да, наклонный цилиндр.

Упражнение 2

В основании прямой призмы правильный треугольник со стороной 1. Найдите радиус окружности основания цилиндра, описанного около этой призмы.

Упражнение 3

В основании прямой призмы прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Найдите радиус окружности основания цилиндра, описанного около этой призмы.

Упражнение 4

В основании прямой призмы квадрат со стороной 1. Найдите радиус окружности основания цилиндра, описанного около этой призмы.

Упражнение 5

Около правильной шестиугольной призмы, со стороной основания 1, описан цилиндр. Найдите радиус окружности основания этого цилиндра.

Упражнение 6

Около единичного тетраэдра описан цилиндр так, что вершины тетраэдра принадлежат окружностям оснований цилиндра. Найдите радиус основания и высоту цилиндра.

Упражнение 7

Около единичного октаэдра описан цилиндр так, что две противоположные вершины октаэдра находятся в центрах оснований цилиндра, а остальные вершины принадлежат боковой поверхности цилиндра. Найдите радиус основания и высоту цилиндра.

Цилиндр, описанный около призмы Цилиндр можно описать около прямой призмы если ее основание – многоугольник, вписанный в окружность. Радиус цилиндра R равен радиусу этой окружности Ось цилиндра лежит на одной прямой с высотой Н призмы, соединяющей центры окружностей, описанных около оснований призмы

Цилиндр, вписанный в призму Цилиндр можно вписать в прямую призму, если ее основание – многоугольник, описанный около окружности Радиус цилиндра r равен радиусу этой окружности. Ось цилиндра лежит на одной прямой с высотой Н призмы, соединяющей центры окружностей, вписанных в основания призмы

Конус, описанный около пирамиды Конус можно описать около пирамиды, если ее основание – многоугольник, вписанный в окружность, а вершина пирамиды проецируется в центр этой окружности Радиус конусу R равен радиусу этой окружности, а высоты Н конуса и пирамиды совпадают

Конус, вписанный в пирамиду вписанный в пирамиду Конус можно описать около пирамиды, если ее основание – многоугольник, описанный около окружности, а вершина пирамиды проецируется в центр этой окружности Радиус конусу r равен радиусу этой окружности, а высоты Н конуса и пирамиды совпадают

Шар, вписанный в цилиндр Шар можно вписать только в такой цилиндр, высота которого равна диаметру основания (такой цилиндр называется равносторонним) Шар касается оснований цилиндра в их центрах и боковой поверхности цилиндра по окружности большого круга шара параллельной основаниям цилиндра

Шар, описанный около конуса Шар можно описать около любого конуса. Окружность основания конуса и вершина конуса лежат на поверхности шара. Центр шара лежит на оси конуса и совпадает с центром окружности, описанной около треугольника, являющегося осевым сечением конуса

Шар, вписанный в конус Шар можно вписать в любой конус. Шар касается основания конуса в его центе и боковой поверхности конуса по окружности, лежащей в плоскости, параллельной основанию конуса. Центр шара лежит на оси конуса и совпадает с центром окружности, вписанной в треугольник, являющийся осевым сечением конуса

Сечение полуплоскостью, проходящей через центр шара и боковое ребро призмы. (Полуплоскость ограничена прямой, параллельной боковому ребру призмы и проходящей через центр шара) Радиус шара R, высота призмы H и радиус окружности r, описанной около основания призмы, связаны соотношением:

Шар, вписанный в прямую призму Шар можно вписать в прямую призму, если ее основания являются многоугольниками, описанными около окружности, а высота призмы равна диаметру этой окружности. Радиус вписанного шара равен радиусу этой окружности. Центр шара лежит на середине высоты призмы, соединяющей центры окружностей, вписанных в основания призмы

Сечение полуплоскостью, перпендикулярной боковой грани призмы и проходящей через высоту призмы, соединяющую центры окружностей, вписанных в основания Радиус шара R, высота призмы H и радиус окружности r, вписанной в основание призмы, связаны соотношениями:

Шар, описанный около правильной пирамиды Шар можно описать около любой правильной пирамиды. Центр шара лежит на прямой, содержащей высоту пирамиды и совпадает с центром окружности, описанной около равнобедренного треугольника, боковой стороной которого является боковое ребро пирамиды, а высотой – высота пирамиды. Радиус шара равен радиусу этой окружности

Сечение полуплоскостью, проходящей через центр шара и боковое ребро пирамиды. (Полуплоскость ограничена прямой, проходящей через высоту пирамиды) Радиус шара R, и высота пирамиды H и радиус окружности r, описанной около основания пирамиды, связаны соотношением: R 2 = (H-R) 2 + r 2 Это соотношение справедливо и в том случае когда HR В - Боковое ребро пирамиды Н – Высота пирамиды

Шар, вписанный в правильную пирамиду Шар можно описать около любой правильной пирамиды. Центр шара лежит на высоте пирамиды и совпадает с центром окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, боковой стороной которого является апофема (высота боковой грани) пирамиды, а высотой – высота пирамиды. Радиус шара равен радиусу этой окружности