Данная статья рассматривает сравнение дробей. Здесь мы выясним, какая из дробей больше или меньше, применим правило, разберем примеры решения. Сравним дроби как с одинаковыми, так и разными знаменателями. Произведем сравнение обыкновенной дроби с натуральным числом.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями
Когда производится сравнение дробей с одинаковыми знаменателями, мы работаем только с числителем, а значит, сравниваем доли числа. Если имеется дробь 3 7 , то она имеет 3 доли 1 7 , тогда дробь 8 7 имеет 8 таких долей. Иначе говоря, если знаменатель одинаковый, производится сравнение числителей этих дробей, то есть 3 7 и 8 7 сравниваются числа 3 и 8 .
Отсюда следует правило сравнения дробей с одинаковыми знаменателями:из имеющихся дробей с одинаковыми показателями считается большей та дробь, у которой числитель больше и наоборот.
Это говорит о том, что следует обратить внимание на числители. Для этого рассмотрим пример.
Пример 1
Произвести сравнение заданных дробей 65 126 и 87 126 .
Решение
Так как знаменатели дробей одинаковые, переходим к числителям. Из чисел 87 и 65 очевидно, что 65 меньше. Исходя из правила сравнения дробей с одинаковыми знаменателями имеем, что 87 126 больше 65 126 .
Ответ: 87 126 > 65 126 .
Сравнение дробей с разными знаменателями
Сравнение таких дробей можно соотнести со сравнением дробей с одинаковыми показателями, но имеется различие. Теперь необходимо дроби приводить к общему знаменателю.
Если имеются дроби с разными знаменателями, для их сравнения необходимо:
- найти общий знаменатель;
- сравнить дроби.
Рассмотрим данные действия на примере.
Пример 2
Произвести сравнение дробей 5 12 и 9 16 .
Решение
В первую очередь необходимо привести дроби к общему знаменателю. Это делается таким образом: находится НОК, то есть наименьший общий делитель, 12 и 16 . Это число 48 . Необходимо надписать дополнительные множители к первой дроби 5 12 , это число находится из частного 48: 12 = 4 , для второй дроби 9 16 – 48: 16 = 3 . Запишем получившееся таким образом: 5 12 = 5 · 4 12 · 4 = 20 48 и 9 16 = 9 · 3 16 · 3 = 27 48 .
После сравнения дробей получаем, что 20 48 < 27 48 . Значит, 5 12 меньше 9 16 .
Ответ: 5 12 < 9 16 .
Имеется еще один способ сравнения дробей с разными знаменателями. Он выполняется без приведения к общему знаменателю. Рассмотрим на примере. Чтобы сравнить дроби a b и c d , приводим к общему знаменателю, тогда b · d , то есть произведение этих знаменателей. Тогда дополнительные множители для дробей будут являться знаменатели соседней дроби. Это запишется так a · d b · d и c · b d · b . Используя правило с одинаковыми знаменателями, имеем, что сравнение дробей свелось к сравнениям произведений a · d и c · b . Отсюда получаем правило сравнения дробей с разными знаменателями:если a · d > b · c , тогда a b > c d , но если a · d < b · c , тогда a b < c d . Рассмотрим сравнение с разными знаменателями.
Пример 3
Произвести сравнение дробей 5 18 и 23 86 .
Решение
Данный пример имеет a = 5 , b = 18 , c = 23 и d = 86 . Тогда необходимо вычислить a · d и b · c . Отсюда следует, что a · d = 5 · 86 = 430 и b · c = 18 · 23 = 414 . Но 430 > 414 , тогда заданная дробь 5 18 больше, чем 23 86 .
Ответ: 5 18 > 23 86 .
Сравнение дробей с одинаковыми числителями
Если дроби имеют одинаковые числители и разные знаменатели, тогда можно выполнять сравнение по предыдущему пункту. Результат сравнения возможет при сравнении их знаменателей.
Имеется правило сравнения дробей с одинаковыми числителями: из двух дробей с одинаковыми числителями больше та дробь, которая имеет меньший знаменатель и наоборот.
Рассмотрим на примере.
Пример 4
Произвести сравнение дробей 54 19 и 54 31 .
Решение
Имеем, что числители одинаковые, значит, что дробь, имеющая знаменатель 19 больше дроби, которая имеет знаменатель 31 . Это понятно, исходя из правила.
Ответ: 54 19 > 54 31 .
Иначе можно рассмотреть на примере. Имеется две тарелки, на которых 1 2 пирога, анна другой 1 16 . Если съесть 1 2 пирога, то насытишься быстрей, нежели только 1 16 . Отсюда вывод, что наибольший знаменатель при одинаковых числителях является наименьшим при сравнении дробей.
Сравнение дроби с натуральным числом
Сравнение обыкновенной дроби с натуральным числом идет как и сравнение двух дробей с записью знаменателей в виде 1 . Для детального рассмотрения ниже приведем пример.
Пример 4
Необходимо выполнить сравнение 63 8 и 9 .
Решение
Необходимо представить число 9 в виде дроби 9 1 . Тогда имеем необходимость сравнения дробей 63 8 и 9 1 . Далее следует приведение к общему знаменателю путем нахождения дополнительных множителей. После этого видим, что нужно сравнить дроби с одинаковыми знаменателями 63 8 и 72 8 . Исходя из правила сравнения, 63 < 72 , тогда получаем 63 8 < 72 8 . Значит, заданная дробь меньше целого числа 9 , то есть имеем 63 8 < 9 .
Ответ: 63 8 < 9 .
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Две неравные дроби подлежат дальнейшему сравнению для выяснения, какая дробь больше, а какая дробь меньше. Для сравнения двух дробей существует правило сравнения дробей, которое мы сформулируем ниже, а также разберем примеры применения этого правила при сравнении дробей с одинаковыми и разными знаменателями. В заключение покажем, как сравнить дроби с одинаковыми числителями, не приводя их к общему знаменателю, а также рассмотрим, как сравнить обыкновенную дробь с натуральным числом.
Навигация по странице.
Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями
Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями по сути является сравнением количества одинаковых долей. К примеру, обыкновенная дробь 3/7 определяет 3 доли 1/7 , а дробь 8/7 соответствует 8 долям 1/7 , поэтому сравнение дробей с одинаковыми знаменателями 3/7 и 8/7 сводится к сравнению чисел 3 и 8 , то есть, к сравнению числителей.
Из этих соображений вытекает правило сравнения дробей с одинаковыми знаменателями : из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, числитель которой больше, и меньше та дробь, числитель которой меньше.
Озвученное правило объясняет, как сравнить дроби с одинаковыми знаменателями. Рассмотрим пример применения правила сравнения дробей с одинаковыми знаменателями.
Пример.
Какая дробь больше: 65/126 или 87/126 ?
Решение.
Знаменатели сравниваемых обыкновенных дробей равны, а числитель 87 дроби 87/126 больше числителя 65 дроби 65/126 (при необходимости смотрите сравнение натуральных чисел). Поэтому, согласно правилу сравнения дробей с одинаковыми знаменателями, дробь 87/126 больше дроби 65/126 .
Ответ:
Сравнение дробей с разными знаменателями
Сравнение дробей с разными знаменателями можно свести к сравнению дробей с одинаковыми знаменателями. Для этого лишь нужно сравниваемые обыкновенные дроби привести к общему знаменателю .
Итак, чтобы сравнить две дроби с разными знаменателями, нужно
- привести дроби к общему знаменателю;
- сравнить полученные дроби с одинаковыми знаменателями.
Разберем решение примера.
Пример.
Сравните дробь 5/12 с дробью 9/16 .
Решение.
Сначала приведем данные дроби с разными знаменателями к общему знаменателю (смотрите правило и примеры приведения дробей к общему знаменателю). В качестве общего знаменателя возьмем наименьший общий знаменатель, равный НОК(12, 16)=48
. Тогда дополнительным множителем дроби 5/12
будет число 48:12=4
, а дополнительным множителем дроби 9/16
будет число 48:16=3
. Получаем 
и 
.
Сравнив полученные дроби, имеем . Следовательно, дробь 5/12 меньше, чем дробь 9/16 . На этом сравнение дробей с разными знаменателями завершено.
Ответ:
Получим еще один способ сравнения дробей с разными знаменателями, который позволит выполнять сравнение дробей без их приведения к общему знаменателю и всех сложностей, связанных с этим процессом.
Для сравнения дробей a/b и c/d , их можно привести к общему знаменателю b·d , равному произведению знаменателей сравниваемых дробей. В этом случае дополнительными множителями дробей a/b и c/d являются числа d и b соответственно, а исходные дроби приводятся к дробям и с общим знаменателем b·d . Вспомнив правило сравнения дробей с одинаковыми знаменателями, заключаем, что сравнение исходных дробей a/b и c/d свелось к сравнению произведений a·d и c·b .
Отсюда вытекает следующее правило сравнения дробей с разными знаменателями
: если a·d>b·c
, то , а если a·d Рассмотрим сравнение дробей с разными знаменателями этим способом. Пример.
Сравните обыкновенные дроби 5/18
и 23/86
.
Решение.
В этом примере a=5
, b=18
, c=23
и d=86
. Вычислим произведения a·d
и b·c
. Имеем a·d=5·86=430
и b·c=18·23=414
. Так как 430>414
, то дробь 5/18
больше, чем дробь 23/86
.
Ответ:
Дроби с одинаковыми числителями и разными знаменателями, несомненно, можно сравнивать с помощью правил, разобранных в предыдущем пункте. Однако, результат сравнения таких дробей легко получить, сравнив знаменатели этих дробей. Существует такое правило сравнения дробей с одинаковыми числителями
: из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой меньше знаменатель, и меньше та дробь, знаменатель которой больше. Рассмотрим решение примера. Пример.
Сравните дроби 54/19
и 54/31
.
Решение.
Так как числители сравниваемых дробей равны, а знаменатель 19
дроби 54/19
меньше знаменателя 31
дроби 54/31
, то 54/19
больше 54/31
.
Задачи урока:
Этапы урока:
1. Организационный.
Начнем урок словами французского писателя
А.Франса: “Учиться можно весело….Чтобы
переварить знания, надо поглощать их с
аппетитом”. Последуем этому совету, постараемся быть
внимательными, будем поглощать знания с большим
желанием, т.к. они пригодятся нам в дальнейшем. 2. Актуализация знаний учащихся.
1.)Фронтальная устная работа учащихся. Цель: повторить пройденный материал,
требующийся при изучении нового: А) правильные и неправильные дроби; (Проводится работа с файлами. Учащиеся имеют их
в наличии на каждом уроке. На них пишут ответы
фламастером, а за тем ненужная информация
стирается.) Задания для устной работы.
1. Назвать лишнюю дробь среди цепочки: А) 5/6; 1/3; 7/10; 11/3; 4/7. 2. Привести дроби к новому знаменателю 30: 1/2; 2/3; 4/5; 5/6; 1/10. Найти наименьший общий знаменатель дробей: 1/5 и 2/7; 3/4 и 1/6; 2/9 и 1/2. 2.) Игровая ситуация. Ребята, наш знакомый клоун (учащиеся
познакомились с ним в начале учебного года)
попросили меня помочь решить ему задачу. Но я
считаю, что вы, ребята, сможете без меня помочь
нашему другу. А задача следующая. “Сравнить дроби: а) 1/2 и 1/6; Ребята, чтобы помочь клоуну, чему мы должны
научиться? Цель урока, задачи (учащиеся формулируют
самостоятельно). Учитель помогает им, задавая вопросы: а) а какие из пар дробей мы сможем уже сравнить? б) какой инструмент для сравнения дробей нам
необходим? 3. Ребята в группах (в постоянных
разноуровневых). Каждой группе выдается задание и инструкция к
его выполнению. Первая группа:
Сравнить смешанные дроби: а) 1 1/2 и 2 5/6; и вывести правило равнения смешанных дробей с
одинаковыми и с разными целыми частями. Инструкция: Сравнение смешанных дробей (используется числовой луч) Вторая группа: Сравнить дроби с разными
знаменателями и разными числителями.
(использовать числовой луч) а) 6/7 и 9/14; Инструкция Третья группа: Сравнение дробей с единицей. а)2/3 и 1; Инструкция Рассмотрите все случаи: (используйте числовой
луч) а) Если числитель дроби равен знаменателю,
………; Сформулируйте правило. Четвертая группа: Сравните дроби: а) 5/8 и 3/8; Инструкция Используйте числовой луч. Сравните числители и сделайте вывод, начиная
словами: “Из двух дробей с одинаковыми
знаменателями……”. Пятая группа: Сравните дроби: а) 1/6 и 1/3; 0__.__.__1/6__.__.__1/3__.__.4/9__.__.__.__.__.__.__.__.__.__1__.__.__.__.__.__4/3__.__ Сформулируйте правило сравнения дробей с
одинаковыми числителями. Инструкция Сравните знаменатели и сделайте вывод, начиная
со слов: “Из двух дробей с одинаковыми
числителями………..”. Шестая группа: Сравните дроби: а) 4/3 и 5/6; б) 7/2 и 1/2, используя числовой луч 0__.__.__1/2__.__5/6__1__.__4/3__.__.__.__.__.__.__.__.__.__.__.__.__7/2__.__ Сформулируйте правило сравнения правильных и
неправильных дробей. Инструкция. Подумайте, какая дробь всегда больше,
правильная или неправильная. 4. Обсуждение выводов, сделанных в группах. Слово каждой группе. Формулировка правил
учащихся и сравнение их с эталонами
соответствующих правил. Далее выдаются
распечатки правила сравнения различных видов
обыкновенных дробей каждому учащемуся. 5. Возвращаемся к задаче, поставленной в начале
урока. (Решаем задачу клоуна вместе). 6. Работа в тетрадях. Используя правила
сравнения дробей, учащиеся под руководством
учителя сравнивают дроби: а) 8/13 и 8/25; (возможно приглашение ученика к доске). 7. Учащимся предлагается выполнить тест по
сравнению дробей на два варианта. 1 вариант.
1) сравнить дроби: 1/8 и 1/12 а) 1/8 > 1/12; 2) Что больше: 5/13 или 7/13? а) 5/13; 3) Что меньше: 2\3 или 4/6? а) 2/3; 4) Какая из дробей меньше 1: 3/5; 17/9; 7/7? а) 3/5; 5) Какая из дробей больше 1: ?; 7/8; 4/3? а) 1/2; 6) Сравнить дроби: 2 1/5 и 1 7/9 а) 2 1/5<1 7/9; 2 вариант.
1) сравнить дроби: 3/5 и 3/10 а) 3/5 > 3/10; 2) Что больше: 10/12или1/12? а) равны; 3) Что меньше: 3/5 или 1/10? а) 3/5; 4) Какая из дробей меньше 1: 4/3;1/15;16/16? а) 4/3; 5) Какая из дробей больше 1: 2/5;9/8 ;11/12 ? а) 2/5; 6) Сравнить дроби: 3 1/4 и 3 2/3 а) 3 1/4=3 2/3; Ответы к тесту: 1 вариант: 1а, 2б, 3в, 4а, 5б, 6а 2 вариант: 2а, 2б, 3б, 4б, 5б, 6в 8. Еще раз возвращаемся к цели урока. Проверяем правила сравнения и даем
дифференцированное домашнее задание: 1,2,3 группы – придумать на каждое правило
сравнение по два примера и решить их. 4,5,6 группы - №83 а,б,в, №84 а,б,в (из учебника). В повседневной жизни нам часто приходится сравнивать дробные величины. Чаще всего это не вызывает каких-либо трудностей. Действительно, всем понятно, что половина яблока больше, чем четверть. Но когда необходимо записать это в виде математического выражения, это может вызвать затруднения. Применяя следующие математические правила, вы легко можете справиться с этой задачей. Такие дроби сравнивать удобнее всего. В этом случае используйте правило: Из двух дробей с одинаковыми знаменателями, но разными числителя, большей будет та, числитель которой больше, а меньшей – та, числитель которой меньше.
Например, сравнить дроби 3/8 и 5/8. Знаменатели в этом примере равны, следовательно, применяем это правило. 3<5 и 3/8 меньше, чем 5/8. И действительно, если разрезать две пиццы на 8 долей, то 3/8 доли всегда меньше, чем 5/8. В этом случае сравнивают размеры долей-знаменателей. Следует применять правило: Если у двух дробей числители равны, то больше та дробь, знаменатель которой меньше.
Например, сравнить дроби 3/4 и 3/8. В этом примере числители равны, значит, используем второе правило. У дроби 3/4 знаменатель меньше, чем у дроби 3/8. Следовательно 3/4>3/8 И действительно, если вы съедите 3 куска пиццы, разделенной на 4 части, то будете более сыты, чем если бы съели 3 куска пиццы, разделенной на 8 частей. Применяем третье правило: Сравнение дробей с разными знаменателями нужно привести к сравнению дробей с одинаковыми знаменателями. Для этого необходимо привести дроби к общему знаменателю и использовать первое правило.
Например, необходимо сравнить дроби и . Для определения большей дроби приведем эти две дроби к общему знаменателю: Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше, и меньше та, у которой числитель меньше
. На самом деле, ведь знаменатель показывает, на сколько частей разделили одну целую величину, а числитель показывает, сколько таких частей взяли. Получается, что делили каждый целый круг на одно и то же число 5
, а брали разное количество частей: больше взяли — большая дробь и получилась. Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше, и меньше та, у которой знаменатель больше.
Ну и, в самом деле, если мы один круг разделим на 8
частей, а другой на 5
частей и возьмем по одной части от каждого из кругов. Какая часть будет больше? Конечно, от круга, поделенного на 5
частей! А теперь представьте, что делили не круги, а торты. Вы бы какой кусочек предпочли, точнее, какую долю: пятую или восьмую? Чтобы сравнить дроби с разными числителями и разными знаменателями, надо привести дроби к наименьшему общему знаменателю, а затем сравнивать дроби с одинаковыми знаменателями.
Примеры. Сравнить обыкновенные дроби:
Сравнение дробей с одинаковыми числителями
Б) приведение дробей к новому знаменателю;
В) нахождение наименьшего общего знаменателя;
Б) 2/6; 6/18; 1/3; 4/5; 4/12.
б) 3/5 и 1/3;
в) 5/6 и 1/6;
г) 12/7 и 4/7;
д) 3 1/7 и 3 1/5;
е) 7 5/6 и 3 1/2;
ж) 1/10 и 1;
з) 10/3 и 1;
и) 7/7 и 1.”
б) 3 1/2 и 3 4/5
б) 5/11 и 1/22
б) 8/7 и 1;
в)10/10 и 1 и сформулировать правило.
б) Если числитель дроби меньше знаменателя,………;
в) Если числитель дроби больше знаменателя,……….
.
б) 1/7 и 4/7 и сформулируйте правило сравнения
дробей с одинаковым знаменателем.
б) 4/9 и 4/3, используя числовой луч:
б)11/42 и 3/42;
в)7/5 и 1/5;
г) 18/21и 7/3;
д) 2 1/2 и 3 1/5 ;
е) 5 1/2 и 5 4/3;
б) 1/8 <1/12;
в) 1/8=1/12
б) 7/13;
в) равны
б) 4/6;
в) равны
б) 17/9;
в) 7/7
б) 7/8;
в) 4/3
б) 2 1/5 = 1 7/9;
в) 2 1/5 >1 7/9
б) 3/5<3/10;
в) 3/5=3/10
б) 10/12;
в) 1/12
б) 1/10;
в) равны
б) 1/15;
в) 16/16
б) 9/8;
в) 11/12
б) 3 1/4 > 3 2/3;
в) 3 1/4 < 3 2/3 Как сравнивать дроби с одинаковыми знаменателями
Сравнение дробей с одинаковыми числителями и разными знаменателями
Сравнение дробей с разными числителями и знаменателями
Приведем эти дроби к наименьшему общему знаменателю. НОЗ(4;
6)=12. Находим дополнительные множители для каждой из дробей. Для 1-й дроби дополнительный множитель 3
(12:
4=3
). Для 2-й дроби дополнительный множитель 2
(12:
6=2
). Теперь сравниваем числители двух получившихся дробей с одинаковыми знаменателями. Так как числитель первой дроби меньше числителя второй дроби (9<10)
, то и сама первая дробь меньше второй дроби.