Как узнать какая дробь больше или меньше. Сравнение дробей

Данная статья рассматривает сравнение дробей. Здесь мы выясним, какая из дробей больше или меньше, применим правило, разберем примеры решения. Сравним дроби как с одинаковыми, так и разными знаменателями. Произведем сравнение обыкновенной дроби с натуральным числом.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями

Когда производится сравнение дробей с одинаковыми знаменателями, мы работаем только с числителем, а значит, сравниваем доли числа. Если имеется дробь 3 7 , то она имеет 3 доли 1 7 , тогда дробь 8 7 имеет 8 таких долей. Иначе говоря, если знаменатель одинаковый, производится сравнение числителей этих дробей, то есть 3 7 и 8 7 сравниваются числа 3 и 8 .

Отсюда следует правило сравнения дробей с одинаковыми знаменателями:из имеющихся дробей с одинаковыми показателями считается большей та дробь, у которой числитель больше и наоборот.

Это говорит о том, что следует обратить внимание на числители. Для этого рассмотрим пример.

Пример 1

Произвести сравнение заданных дробей 65 126 и 87 126 .

Решение

Так как знаменатели дробей одинаковые, переходим к числителям. Из чисел 87 и 65 очевидно, что 65 меньше. Исходя из правила сравнения дробей с одинаковыми знаменателями имеем, что 87 126 больше 65 126 .

Ответ: 87 126 > 65 126 .

Сравнение дробей с разными знаменателями

Сравнение таких дробей можно соотнести со сравнением дробей с одинаковыми показателями, но имеется различие. Теперь необходимо дроби приводить к общему знаменателю.

Если имеются дроби с разными знаменателями, для их сравнения необходимо:

  • найти общий знаменатель;
  • сравнить дроби.

Рассмотрим данные действия на примере.

Пример 2

Произвести сравнение дробей 5 12 и 9 16 .

Решение

В первую очередь необходимо привести дроби к общему знаменателю. Это делается таким образом: находится НОК, то есть наименьший общий делитель, 12 и 16 . Это число 48 . Необходимо надписать дополнительные множители к первой дроби 5 12 , это число находится из частного 48: 12 = 4 , для второй дроби 9 16 – 48: 16 = 3 . Запишем получившееся таким образом: 5 12 = 5 · 4 12 · 4 = 20 48 и 9 16 = 9 · 3 16 · 3 = 27 48 .

После сравнения дробей получаем, что 20 48 < 27 48 . Значит, 5 12 меньше 9 16 .

Ответ: 5 12 < 9 16 .

Имеется еще один способ сравнения дробей с разными знаменателями. Он выполняется без приведения к общему знаменателю. Рассмотрим на примере. Чтобы сравнить дроби a b и c d , приводим к общему знаменателю, тогда b · d , то есть произведение этих знаменателей. Тогда дополнительные множители для дробей будут являться знаменатели соседней дроби. Это запишется так a · d b · d и c · b d · b . Используя правило с одинаковыми знаменателями, имеем, что сравнение дробей свелось к сравнениям произведений a · d и c · b . Отсюда получаем правило сравнения дробей с разными знаменателями:если a · d > b · c , тогда a b > c d , но если a · d < b · c , тогда a b < c d . Рассмотрим сравнение с разными знаменателями.

Пример 3

Произвести сравнение дробей 5 18 и 23 86 .

Решение

Данный пример имеет a = 5 , b = 18 , c = 23 и d = 86 . Тогда необходимо вычислить a · d и b · c . Отсюда следует, что a · d = 5 · 86 = 430 и b · c = 18 · 23 = 414 . Но 430 > 414 , тогда заданная дробь 5 18 больше, чем 23 86 .

Ответ: 5 18 > 23 86 .

Сравнение дробей с одинаковыми числителями

Если дроби имеют одинаковые числители и разные знаменатели, тогда можно выполнять сравнение по предыдущему пункту. Результат сравнения возможет при сравнении их знаменателей.

Имеется правило сравнения дробей с одинаковыми числителями: из двух дробей с одинаковыми числителями больше та дробь, которая имеет меньший знаменатель и наоборот.

Рассмотрим на примере.

Пример 4

Произвести сравнение дробей 54 19 и 54 31 .

Решение

Имеем, что числители одинаковые, значит, что дробь, имеющая знаменатель 19 больше дроби, которая имеет знаменатель 31 . Это понятно, исходя из правила.

Ответ: 54 19 > 54 31 .

Иначе можно рассмотреть на примере. Имеется две тарелки, на которых 1 2 пирога, анна другой 1 16 . Если съесть 1 2 пирога, то насытишься быстрей, нежели только 1 16 . Отсюда вывод, что наибольший знаменатель при одинаковых числителях является наименьшим при сравнении дробей.

Сравнение дроби с натуральным числом

Сравнение обыкновенной дроби с натуральным числом идет как и сравнение двух дробей с записью знаменателей в виде 1 . Для детального рассмотрения ниже приведем пример.

Пример 4

Необходимо выполнить сравнение 63 8 и 9 .

Решение

Необходимо представить число 9 в виде дроби 9 1 . Тогда имеем необходимость сравнения дробей 63 8 и 9 1 . Далее следует приведение к общему знаменателю путем нахождения дополнительных множителей. После этого видим, что нужно сравнить дроби с одинаковыми знаменателями 63 8 и 72 8 . Исходя из правила сравнения, 63 < 72 , тогда получаем 63 8 < 72 8 . Значит, заданная дробь меньше целого числа 9 , то есть имеем 63 8 < 9 .

Ответ: 63 8 < 9 .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Две неравные дроби подлежат дальнейшему сравнению для выяснения, какая дробь больше, а какая дробь меньше. Для сравнения двух дробей существует правило сравнения дробей, которое мы сформулируем ниже, а также разберем примеры применения этого правила при сравнении дробей с одинаковыми и разными знаменателями. В заключение покажем, как сравнить дроби с одинаковыми числителями, не приводя их к общему знаменателю, а также рассмотрим, как сравнить обыкновенную дробь с натуральным числом.

Навигация по странице.

Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями

Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями по сути является сравнением количества одинаковых долей. К примеру, обыкновенная дробь 3/7 определяет 3 доли 1/7 , а дробь 8/7 соответствует 8 долям 1/7 , поэтому сравнение дробей с одинаковыми знаменателями 3/7 и 8/7 сводится к сравнению чисел 3 и 8 , то есть, к сравнению числителей.

Из этих соображений вытекает правило сравнения дробей с одинаковыми знаменателями : из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, числитель которой больше, и меньше та дробь, числитель которой меньше.

Озвученное правило объясняет, как сравнить дроби с одинаковыми знаменателями. Рассмотрим пример применения правила сравнения дробей с одинаковыми знаменателями.

Пример.

Какая дробь больше: 65/126 или 87/126 ?

Решение.

Знаменатели сравниваемых обыкновенных дробей равны, а числитель 87 дроби 87/126 больше числителя 65 дроби 65/126 (при необходимости смотрите сравнение натуральных чисел). Поэтому, согласно правилу сравнения дробей с одинаковыми знаменателями, дробь 87/126 больше дроби 65/126 .

Ответ:

Сравнение дробей с разными знаменателями

Сравнение дробей с разными знаменателями можно свести к сравнению дробей с одинаковыми знаменателями. Для этого лишь нужно сравниваемые обыкновенные дроби привести к общему знаменателю .

Итак, чтобы сравнить две дроби с разными знаменателями, нужно

  • привести дроби к общему знаменателю;
  • сравнить полученные дроби с одинаковыми знаменателями.

Разберем решение примера.

Пример.

Сравните дробь 5/12 с дробью 9/16 .

Решение.

Сначала приведем данные дроби с разными знаменателями к общему знаменателю (смотрите правило и примеры приведения дробей к общему знаменателю). В качестве общего знаменателя возьмем наименьший общий знаменатель, равный НОК(12, 16)=48 . Тогда дополнительным множителем дроби 5/12 будет число 48:12=4 , а дополнительным множителем дроби 9/16 будет число 48:16=3 . Получаем и .

Сравнив полученные дроби, имеем . Следовательно, дробь 5/12 меньше, чем дробь 9/16 . На этом сравнение дробей с разными знаменателями завершено.

Ответ:

Получим еще один способ сравнения дробей с разными знаменателями, который позволит выполнять сравнение дробей без их приведения к общему знаменателю и всех сложностей, связанных с этим процессом.

Для сравнения дробей a/b и c/d , их можно привести к общему знаменателю b·d , равному произведению знаменателей сравниваемых дробей. В этом случае дополнительными множителями дробей a/b и c/d являются числа d и b соответственно, а исходные дроби приводятся к дробям и с общим знаменателем b·d . Вспомнив правило сравнения дробей с одинаковыми знаменателями, заключаем, что сравнение исходных дробей a/b и c/d свелось к сравнению произведений a·d и c·b .

Отсюда вытекает следующее правило сравнения дробей с разными знаменателями : если a·d>b·c , то , а если a·d

Рассмотрим сравнение дробей с разными знаменателями этим способом.

Пример.

Сравните обыкновенные дроби 5/18 и 23/86 .

Решение.

В этом примере a=5 , b=18 , c=23 и d=86 . Вычислим произведения a·d и b·c . Имеем a·d=5·86=430 и b·c=18·23=414 . Так как 430>414 , то дробь 5/18 больше, чем дробь 23/86 .

Ответ:

Сравнение дробей с одинаковыми числителями

Дроби с одинаковыми числителями и разными знаменателями, несомненно, можно сравнивать с помощью правил, разобранных в предыдущем пункте. Однако, результат сравнения таких дробей легко получить, сравнив знаменатели этих дробей.

Существует такое правило сравнения дробей с одинаковыми числителями : из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой меньше знаменатель, и меньше та дробь, знаменатель которой больше.

Рассмотрим решение примера.

Пример.

Сравните дроби 54/19 и 54/31 .

Решение.

Так как числители сравниваемых дробей равны, а знаменатель 19 дроби 54/19 меньше знаменателя 31 дроби 54/31 , то 54/19 больше 54/31 .

Задачи урока:

  1. Обучающие: научить сравнивать обыкновенные дроби различных видов, используя различные приемы;
  2. Развивающие: развитие основных приемов мыслительной деятельности, обобщения сравнения, выделение главного; развитие памяти, речи.
  3. Воспитательные: учиться слушать друг друга, воспитание взаимовыручки, культуры общения и поведения.

Этапы урока:

1. Организационный.

Начнем урок словами французского писателя А.Франса: “Учиться можно весело….Чтобы переварить знания, надо поглощать их с аппетитом”.

Последуем этому совету, постараемся быть внимательными, будем поглощать знания с большим желанием, т.к. они пригодятся нам в дальнейшем.

2. Актуализация знаний учащихся.

1.)Фронтальная устная работа учащихся.

Цель: повторить пройденный материал, требующийся при изучении нового:

А) правильные и неправильные дроби;
Б) приведение дробей к новому знаменателю;
В) нахождение наименьшего общего знаменателя;

(Проводится работа с файлами. Учащиеся имеют их в наличии на каждом уроке. На них пишут ответы фламастером, а за тем ненужная информация стирается.)

Задания для устной работы.

1. Назвать лишнюю дробь среди цепочки:

А) 5/6; 1/3; 7/10; 11/3; 4/7.
Б) 2/6; 6/18; 1/3; 4/5; 4/12.

2. Привести дроби к новому знаменателю 30:

1/2; 2/3; 4/5; 5/6; 1/10.

Найти наименьший общий знаменатель дробей:

1/5 и 2/7; 3/4 и 1/6; 2/9 и 1/2.

2.) Игровая ситуация.

Ребята, наш знакомый клоун (учащиеся познакомились с ним в начале учебного года) попросили меня помочь решить ему задачу. Но я считаю, что вы, ребята, сможете без меня помочь нашему другу. А задача следующая.

“Сравнить дроби:

а) 1/2 и 1/6;
б) 3/5 и 1/3;
в) 5/6 и 1/6;
г) 12/7 и 4/7;
д) 3 1/7 и 3 1/5;
е) 7 5/6 и 3 1/2;
ж) 1/10 и 1;
з) 10/3 и 1;
и) 7/7 и 1.”

Ребята, чтобы помочь клоуну, чему мы должны научиться?

Цель урока, задачи (учащиеся формулируют самостоятельно).

Учитель помогает им, задавая вопросы:

а) а какие из пар дробей мы сможем уже сравнить?

б) какой инструмент для сравнения дробей нам необходим?

3. Ребята в группах (в постоянных разноуровневых).

Каждой группе выдается задание и инструкция к его выполнению.

Первая группа: Сравнить смешанные дроби:

а) 1 1/2 и 2 5/6;
б) 3 1/2 и 3 4/5

и вывести правило равнения смешанных дробей с одинаковыми и с разными целыми частями.

Инструкция: Сравнение смешанных дробей (используется числовой луч)

  1. сравните целые части дробей и сделайте вывод;
  2. сравните дробные части (правило сравнения дробных частей не выводить);
  3. составьте правило – алгоритм:

Вторая группа: Сравнить дроби с разными знаменателями и разными числителями. (использовать числовой луч)

а) 6/7 и 9/14;
б) 5/11 и 1/22

Инструкция

  1. Сравните знаменатели
  2. Подумайте, нельзя ли привести дроби к общему знаменателю
  3. Правило начните со слов: “Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, надо…”

Третья группа: Сравнение дробей с единицей.

а)2/3 и 1;
б) 8/7 и 1;
в)10/10 и 1 и сформулировать правило.

Инструкция

Рассмотрите все случаи: (используйте числовой луч)

а) Если числитель дроби равен знаменателю, ………;
б) Если числитель дроби меньше знаменателя,………;
в) Если числитель дроби больше знаменателя,………. .

Сформулируйте правило.

Четвертая группа: Сравните дроби:

а) 5/8 и 3/8;
б) 1/7 и 4/7 и сформулируйте правило сравнения дробей с одинаковым знаменателем.

Инструкция

Используйте числовой луч.

Сравните числители и сделайте вывод, начиная словами: “Из двух дробей с одинаковыми знаменателями……”.

Пятая группа: Сравните дроби:

а) 1/6 и 1/3;
б) 4/9 и 4/3, используя числовой луч:

0__.__.__1/6__.__.__1/3__.__.4/9__.__.__.__.__.__.__.__.__.__1__.__.__.__.__.__4/3__.__

Сформулируйте правило сравнения дробей с одинаковыми числителями.

Инструкция

Сравните знаменатели и сделайте вывод, начиная со слов:

“Из двух дробей с одинаковыми числителями………..”.

Шестая группа: Сравните дроби:

а) 4/3 и 5/6; б) 7/2 и 1/2, используя числовой луч

0__.__.__1/2__.__5/6__1__.__4/3__.__.__.__.__.__.__.__.__.__.__.__.__7/2__.__

Сформулируйте правило сравнения правильных и неправильных дробей.

Инструкция.

Подумайте, какая дробь всегда больше, правильная или неправильная.

4. Обсуждение выводов, сделанных в группах.

Слово каждой группе. Формулировка правил учащихся и сравнение их с эталонами соответствующих правил. Далее выдаются распечатки правила сравнения различных видов обыкновенных дробей каждому учащемуся.

5. Возвращаемся к задаче, поставленной в начале урока. (Решаем задачу клоуна вместе).

6. Работа в тетрадях. Используя правила сравнения дробей, учащиеся под руководством учителя сравнивают дроби:

а) 8/13 и 8/25;
б)11/42 и 3/42;
в)7/5 и 1/5;
г) 18/21и 7/3;
д) 2 1/2 и 3 1/5 ;
е) 5 1/2 и 5 4/3;

(возможно приглашение ученика к доске).

7. Учащимся предлагается выполнить тест по сравнению дробей на два варианта.

1 вариант.

1) сравнить дроби: 1/8 и 1/12

а) 1/8 > 1/12;
б) 1/8 <1/12;
в) 1/8=1/12

2) Что больше: 5/13 или 7/13?

а) 5/13;
б) 7/13;
в) равны

3) Что меньше: 2\3 или 4/6?

а) 2/3;
б) 4/6;
в) равны

4) Какая из дробей меньше 1: 3/5; 17/9; 7/7?

а) 3/5;
б) 17/9;
в) 7/7

5) Какая из дробей больше 1: ?; 7/8; 4/3?

а) 1/2;
б) 7/8;
в) 4/3

6) Сравнить дроби: 2 1/5 и 1 7/9

а) 2 1/5<1 7/9;
б) 2 1/5 = 1 7/9;
в) 2 1/5 >1 7/9

2 вариант.

1) сравнить дроби: 3/5 и 3/10

а) 3/5 > 3/10;
б) 3/5<3/10;
в) 3/5=3/10

2) Что больше: 10/12или1/12?

а) равны;
б) 10/12;
в) 1/12

3) Что меньше: 3/5 или 1/10?

а) 3/5;
б) 1/10;
в) равны

4) Какая из дробей меньше 1: 4/3;1/15;16/16?

а) 4/3;
б) 1/15;
в) 16/16

5) Какая из дробей больше 1: 2/5;9/8 ;11/12 ?

а) 2/5;
б) 9/8;
в) 11/12

6) Сравнить дроби: 3 1/4 и 3 2/3

а) 3 1/4=3 2/3;
б) 3 1/4 > 3 2/3;
в) 3 1/4 < 3 2/3

Ответы к тесту:

1 вариант: 1а, 2б, 3в, 4а, 5б, 6а

2 вариант: 2а, 2б, 3б, 4б, 5б, 6в

8. Еще раз возвращаемся к цели урока.

Проверяем правила сравнения и даем дифференцированное домашнее задание:

1,2,3 группы – придумать на каждое правило сравнение по два примера и решить их.

4,5,6 группы - №83 а,б,в, №84 а,б,в (из учебника).

В повседневной жизни нам часто приходится сравнивать дробные величины. Чаще всего это не вызывает каких-либо трудностей. Действительно, всем понятно, что половина яблока больше, чем четверть. Но когда необходимо записать это в виде математического выражения, это может вызвать затруднения. Применяя следующие математические правила, вы легко можете справиться с этой задачей.

Как сравнивать дроби с одинаковыми знаменателями

Такие дроби сравнивать удобнее всего. В этом случае используйте правило:

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями, но разными числителя, большей будет та, числитель которой больше, а меньшей – та, числитель которой меньше.

Например, сравнить дроби 3/8 и 5/8. Знаменатели в этом примере равны, следовательно, применяем это правило. 3<5 и 3/8 меньше, чем 5/8.

И действительно, если разрезать две пиццы на 8 долей, то 3/8 доли всегда меньше, чем 5/8.

Сравнение дробей с одинаковыми числителями и разными знаменателями

В этом случае сравнивают размеры долей-знаменателей. Следует применять правило:

Если у двух дробей числители равны, то больше та дробь, знаменатель которой меньше.

Например, сравнить дроби 3/4 и 3/8. В этом примере числители равны, значит, используем второе правило. У дроби 3/4 знаменатель меньше, чем у дроби 3/8. Следовательно 3/4>3/8

И действительно, если вы съедите 3 куска пиццы, разделенной на 4 части, то будете более сыты, чем если бы съели 3 куска пиццы, разделенной на 8 частей.


Сравнение дробей с разными числителями и знаменателями

Применяем третье правило:

Сравнение дробей с разными знаменателями нужно привести к сравнению дробей с одинаковыми знаменателями. Для этого необходимо привести дроби к общему знаменателю и использовать первое правило.

Например, необходимо сравнить дроби и . Для определения большей дроби приведем эти две дроби к общему знаменателю:

  • Теперь найдём второй дополнительный множитель: 6:3=2. Записываем его над второй дробью:

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше, и меньше та, у которой числитель меньше . На самом деле, ведь знаменатель показывает, на сколько частей разделили одну целую величину, а числитель показывает, сколько таких частей взяли.

Получается, что делили каждый целый круг на одно и то же число 5 , а брали разное количество частей: больше взяли — большая дробь и получилась.

Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше, и меньше та, у которой знаменатель больше. Ну и, в самом деле, если мы один круг разделим на 8 частей, а другой на 5 частей и возьмем по одной части от каждого из кругов. Какая часть будет больше?

Конечно, от круга, поделенного на 5 частей! А теперь представьте, что делили не круги, а торты. Вы бы какой кусочек предпочли, точнее, какую долю: пятую или восьмую?

Чтобы сравнить дроби с разными числителями и разными знаменателями, надо привести дроби к наименьшему общему знаменателю, а затем сравнивать дроби с одинаковыми знаменателями.

Примеры. Сравнить обыкновенные дроби:

Приведем эти дроби к наименьшему общему знаменателю. НОЗ(4; 6)=12. Находим дополнительные множители для каждой из дробей. Для 1-й дроби дополнительный множитель 3 (12: 4=3 ). Для 2-й дроби дополнительный множитель 2 (12: 6=2 ). Теперь сравниваем числители двух получившихся дробей с одинаковыми знаменателями. Так как числитель первой дроби меньше числителя второй дроби (9<10) , то и сама первая дробь меньше второй дроби.