Число 9 в двоичной системе. Перевод чисел из одной системы счисления в другую онлайн

4.1. Используя Правило Счета, запишите первые 20 целых чисел в десятичной, двоичной, троичной, пятеричной и восьмеричной системах счисления.
{Ответы в конце документа}

4.2. Какие целые числа следуют за числами:

а) 1 2 ; е) 1 8 ; п) F 16 ;
б) 101 2 ; ж) 7 8 ; м) 1F 16 ;
в) 111 2 ; з) 37 8 ; н) FF 16 ;
г) 1111 2 ; и) 177 8 ; о) 9AF9 16 ;
д) 101011 2 ; к) 7777 8 ; п) CDEF 16 ?


{Ответы в конце документа}

4.3. Какие целые числа предшествуют числам:

а) 10 2 ; е) 10 8 ; л) 10 16 ;
б) 1010 2 ; ж) 20 8 ; м)20 16 ;
в) 1000 2 ; з) 100 8 ; н) 100 16 ;
г) 10000 2 ; и) 110 8 ; о) A10 16 ;
д) 10100 2 ; к) 1000 8 ; п) 1000 16 ?


{Ответы в конце документа}

4.4. Какой цифрой заканчивается четное двоичное число? Какой цифрой заканчивается нечетное двоичное число? Какими цифрами может заканчиваться четное троичное число?
{Ответы в конце документа}

4.5. Какое наибольшее десятичное число можно записать тремя цифрами:

    • а) в двоичной системе;
    • б) в восьмеричной системе;
    • в) в шестнадцатеричной системе?

{Ответы в конце документа}

4.6. В какой системе счисления 21 + 24 = 100?

Решение. Пусть x - искомое основание системы счисления. Тогда 100 x = 1 · x 2 + 0 · x 1 + 0 · x 0 , 21 x = 2 · x 1 + 1 · x 0 , 24 x = 2 · x 1 + 4 · x 0 . Таким образом, x 2 = 2x + 2x + 5 или x 2 - 4x - 5 = 0. Положительным корнем этого квадратного уравнения является x = 5.
Ответ. Числа записаны в пятеричной системе счисления.

4.7. В какой системе счисления справедливо следующее:

    • а) 20 + 25 = 100;
    • б) 22 + 44 = 110?

{Ответы в конце документа}

4.8. Десятичное число 59 эквивалентно числу 214 в некоторой другой системе счисления. Найдите основание этой системы.
{Ответы в конце документа}

4.9. Переведите числа в десятичную систему, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы:

а) 1011011 2 ; е) 517 8 ; л) 1F 16 ;
б) 10110111 2 ; ж) 1010 8 ; м) ABC 16 ;
в) 011100001 2 ; з) 1234 8 ; н) 1010 16 ;
г) 0,1000110 2 ; и) 0,34 8 ; о) 0,А4 16 ;
д) 110100,11 2 ; к) 123,41 8 ; п) 1DE,C8 16 .


{Ответы в конце документа}

4.10. Переведите числа из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы:

а) 125 10 ; б) 229 10 ; в) 88 10 ; г) 37,25 10 ; д) 206,125 10 .
{Ответы в конце документа}

4.11. Переведите числа из двоичной системы в восьмеричную и шестнадцатеричную, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы:

а) 1001111110111,0111 2 ; г) 1011110011100,11 2 ;
б) 1110101011,1011101 2 ; д) 10111,1111101111 2 ;
в) 10111001,101100111 2 ; е) 1100010101,11001 2 .


{Ответы в конце документа}

4.12. Переведите в двоичную и восьмеричную системы шестнадцатеричные числа:

а) 2СE 16 ; б) 9F40 16 ; в) ABCDE 16 ; г) 1010,101 16 ; д) 1ABC,9D 16 .
{Ответы в конце документа}

4.13. Выпишите целые числа:

    • а) от 101101 2 до 110000 2 в двоичной системе;
    • б) от 202 3 до 1000 3 в троичной системе;
    • в) от 14 8 до 20 8 в восьмеричной системе;
    • г) от 28 16 до 30 16 в шестнадцатеричной системе.

{Ответы в конце документа}

4.14. Для десятичных чисел 47 и 79 выполните цепочку переводов из одной системы счисления в другую:


{Ответы в конце документа}

4.15. Составьте таблицы сложения однозначных чисел в троичной и пятеричной системах счисления.
{Ответы в конце документа}

4.16. Составьте таблицы умножения однозначных чисел в троичной и пятеричной системах счисления.
{Ответы в конце документа}

4.17. Сложите числа, а затем проверьте результаты, выполнив соответствующие десятичные сложения:


{Ответы в конце документа}

4.18. В каких системах счисления выполнены следующие сложения? Найдите основания каждой системы:


{Ответы в конце документа}

4.19. Найдите те подстановки десятичных цифр вместо букв, которые делают правильными выписанные результаты (разные цифры замещаются разными буквами):


{Ответы в конце документа}

4.20. Вычтите:


{Ответы в конце документа}

4.21. Перемножьте числа, а затем проверьте результаты, выполнив соответствующие десятичные умножения:

а) 101101 2 и 101 2 ; д) 37 8 и 4 8 ;
б) 111101 2 и 11,01 2 ; е) 16 8 и 7 8 ;
в) 1011,11 2 и 101,1 2 ; ж) 7,5 8 и 1,6 8 ;
г) 101 2 и 1111,001 2 ; з) 6,25 8 и 7,12 8 .


{Ответы в конце документа}

4.22. Разделите 10010110 2 на 1010 2 и проверьте результат, умножая делитель на частное.
{Ответы в конце документа}

4.23. Разделите 10011010100 2 на 1100 2 и затем выполните соответствующее десятичное и восьмеричное деление.
{Ответы в конце документа}

4.24. Вычислите значения выражений:

    • а) 256 8 + 10110,1 2 * (60 8 + 12 10) - 1F 16 ;
    • б) 1AD 16 - 100101100 2: 1010 2 + 217 8 ;
    • в) 1010 10 + (106 16 - 11011101 2) 12 8 ;
    • г) 1011 2 * 1100 2: 14 8 + (100000 2 - 40 8).

{Ответы в конце документа}

4.25. Расположите следующие числа в порядке возрастания:

    • а) 74 8 , 110010 2 , 70 10 , 38 16 ;
    • б) 6E 16 , 142 8 , 1101001 2 , 100 10 ;
    • в) 777 8 , 101111111 2 , 2FF 16 , 500 10 ;
    • г) 100 10 , 1100000 2 , 60 16 , 141 8 .

{Ответы в конце документа}

4.26. Запишите уменьшающийся ряд чисел +3, +2, ..., -3 в однобайтовом формате:

    • а) в прямом коде;
    • б) в обратном коде;
    • в) в дополнительном коде.

{Ответы в конце документа}

4.27. Запишите числа в прямом коде (формат 1 байт):

а) 31; б) -63; в) 65; г) -128.
{Ответы в конце документа}

4.28. Запишите числа в обратном и дополнительном кодах (формат 1 байт):

а) -9; б) -15; в) -127; г) -128.
{Ответы в конце документа}

4.29. Найдите десятичные представления чисел, записанных в дополнительном коде:

а) 1 1111000; б) 1 0011011; в) 1 1101001; г) 1 0000000.
{Ответы в конце документа}

4.30. Найдите десятичные представления чисел, записанных в обратном коде:

а) 1 1101000; б) 1 0011111; в) 1 0101011; г) 1 0000000.
{Ответы в конце документа}

4.31. Выполните вычитания чисел путем сложения их обратных (дополнительных) кодов в формате 1 байт. Укажите, в каких случаях имеет место переполнение разрядной сетки:

а) 9 - 2; г) -20 - 10; ж) -120 - 15;
б) 2 - 9; д) 50 - 25; з) -126 - 1;
в) -5 - 7; е) 127 - 1; и) -127 - 1.

Ответы

4.1. в) троичная: 0, 1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 100, 101, 102, 110, 111, 112, 120, 121, 122, 200, 201; г) пятеричная: 0, 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14, 20, 21, 22, 23, 24, 30, 31, 32, 33, 34.

4.2. а) 10 2 ; б) 110 2 ; в) 1000 2 ; г) 10000 2 ; д) 101100 2 ; е) 2 8 ; ж) 10 8 ; з) 40 8 ; и) 200 8 ; к) 10000 8 ; л) 10 16 ; м) 20 16 ; н) 100 16 ; о) 9AFA 16 ; п) CDF0 16 .

4.3. а) 1 2 ; б) 1001 2 ; в) 111 2 ; г) 1111 2 ; д) 10011 2 ; е) 7 8 ; ж) 17 8 ; з) 77 8 ; и) 107 8 ; к) 777 8 ; л) F 16 ; м) 1F 16 ; н) FF 16 ; о) A0F 16 ; п) FFF 16 .

4.4. Четное двоичное число оканчивается цифрой 0, нечетное двоичное - цифрой 1, четное троичное - цифрами 0, 1 или 2.

4.5. а) 7; б) 511; в) 4091.

4.7. а) ни в какой; б) в шестеричной.

4.8. Основание 5.

4.9. а) 91; б) 183; в) 225; г) 35 / 64 ; д) 52,75; е) 335; ж) 520; з) 668; и) 7 / 16 ; к) 83 33 / 64 ; л) 31; м) 2748; н) 4112; о) 41 / 64 ; п) 478 25 / 32 .

4.10. а) 1111101 2 ; 175 8 ; 7D 16 ; б) 11100101 2 ; 345 8 ; E5 16 ; в) 1011000 2 ; 130 8 ; 58 16 ; г) 100101,01 2 ; 45,2 8 ; 25,4 16 ; д) 11001110,001 2 ; 316,1 8 ; CE,2 16 .

4.11. а) 11767,34 8 ; 13F7,7 16 ; б) 1653,564 8 ; 3AB,BA 16 ; в) 271,547 8 ; B9,B38 16 ; г) 13634,6 8 ; 179C,C 16 ; д) 27,7674 8 ; 17,FBC 16 ; е) 1425,62 8 ; 315,C8 16 .

4.12. а) 1011001110 2 ; 1316 8 ; б) 1001111101000000 2 ; 117500 8 ; в) 10101011110011011110 2 ; 2536336 8 ; г) 1000000010000,000100000001 2 ; 10020,0401 8 ; д) 1101010111100,10011101 2 ; 15274,472 8 .

4.13. а) 101101 2 , 101110 2 , 101111 2 , 110000 2 ; б) 202 3 , 210 3 , 211 3 , 212 3 , 220 3 , 221 3 , 222 3 , 1000 3 ; в) 14 8 , 15 8 , 16 8 , 17 8 , 20 8 ; г) 28 16 , 29 16 , 2A 16 , 2B 16 , 2C 16 , 2D 16 , 2E 16 , 2F 16 , 30 16 ;

4.14. а) 47 10 - 101111 2 - 57 8 - 47 10 - 57 8 - 101111 2 - 2F 16 - 47 10 - 2F 16 - 101111 2 - 47 10 ; б) 79 10 - 1001111 2 - 117 8 - 79 10 - 117 8 - 1001111 2 - 4F 16 - 79 10 - 4F 16 - 1001111 2 - 79 10 .

+ 0 1 2 3 4
0 0 1 2 3 4
+ 0 1 2 1 1 2 3 4 10
0 0 1 2 2 2 3 4 10 11
1 1 2 10 3 3 4 10 11 12
2 2 10 11 4 4 10 11 12 13

Перевод чисел из одной системы счисления в другую составляет важную часть машинной арифметики. Рассмотрим основные правила перевода.

1. Для перевода двоичного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 2, и вычислить по правилам десятичной арифметики:

При переводе удобно пользоваться таблицей степеней двойки:

Таблица 4. Степени числа 2

n (степень)

Пример.

2. Для перевода восьмеричного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 8, и вычислить по правилам десятичной арифметики:

При переводе удобно пользоваться таблицей степеней восьмерки:

Таблица 5. Степени числа 8

n (степень)

Пример. Число перевести в десятичную систему счисления.

3. Для перевода шестнадцатеричного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 16, и вычислить по правилам десятичной арифметики:

При переводе удобно пользоваться таблицей степеней числа 16:

Таблица 6. Степени числа 16

n (степень)

Пример. Число перевести в десятичную систему счисления.

4. Для перевода десятичного числа в двоичную систему его необходимо последовательно делить на 2 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 1. Число в двоичной системе записывается как последовательность последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.

Пример. Число перевести в двоичную систему счисления.

5. Для перевода десятичного числа в восьмеричную систему его необходимо последовательно делить на 8 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 7. Число в восьмеричной системе записывается как последовательность цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.

Пример. Число перевести в восьмеричную систему счисления.

6. Для перевода десятичного числа в шестнадцатеричную систему его необходимо последовательно делить на 16 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 15. Число в шестнадцатеричной системе записывается как последовательность цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.

Пример. Число перевести в шестнадцатеричную систему счисления.

С помощю этого онлайн калькулятора можно перевести целые и дробные числа из одной системы счисления в другую. Дается подробное решение с пояснениями. Для перевода введите исходное число, задайте основание сисемы счисления исходного числа, задайте основание системы счисления, в которую нужно перевести число и нажмите на кнопку "Перевести". Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Результат уже получен!

Перевод целых и дробных чисел из одной системы счисления в любую другую − теория, примеры и решения

Существуют позиционные и не позиционные системы счисления. Арабская система счисления, которым мы пользуемся в повседневной жизни, является позиционной, а римская − нет. В позиционных системах счисления позиция числа однозначно определяет величину числа. Рассмотрим это на примере числа 6372 в десятичном системе счисления. Пронумеруем это число справа налево начиная с нуля:

Тогда число 6372 можно представить в следующем виде:

6372=6000+300+70+2 =6·10 3 +3·10 2 +7·10 1 +2·10 0 .

Число 10 определяет систему счисления (в данном случае это 10). В качестве степеней взяты значения позиции данного числа.

Рассмотрим вещественное десятичное число 1287.923. Пронумеруем его начиная с нуля позиции числа от десятичной точки влево и вправо:

Тогда число 1287.923 можно представить в виде:

1287.923 =1000+200+80 +7+0.9+0.02+0.003 = 1·10 3 +2·10 2 +8·10 1 +7·10 0 +9·10 -1 +2·10 -2 +3·10 -3 .

В общем случае формулу можно представить в следующем виде:

Ц n ·s n +Ц n-1 ·s n-1 +...+Ц 1 ·s 1 +Ц 0 ·s 0 +Д -1 ·s -1 +Д -2 ·s -2 +...+Д -k ·s -k

где Ц n -целое число в позиции n , Д -k - дробное число в позиции (-k), s - система счисления.

Несколько слов о системах счисления.Число в десятичной системе счисления состоит из множества цифр {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, в восьмеричной системе счисления - из множества цифр {0,1,2,3,4,5,6,7}, в двоичной системе счисления - из множества цифр {0,1}, в шестнадцатеричной системе счисления - из множества цифр {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F}, где A,B,C,D,E,F соответствуют числам 10,11,12,13,14,15.В таблице Таб.1 представлены числа в разных системах счисления.

Таблица 1
Система счисления
10 2 8 16
0 0 0 0
1 1 1 1
2 10 2 2
3 11 3 3
4 100 4 4
5 101 5 5
6 110 6 6
7 111 7 7
8 1000 10 8
9 1001 11 9
10 1010 12 A
11 1011 13 B
12 1100 14 C
13 1101 15 D
14 1110 16 E
15 1111 17 F

Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Для перевода чисел с одной системы счисления в другую, проще всего сначала перевести число в десятичную систему счисления, а затем, из десятичной системы счисления перевести в требуемую систему счисления.

Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную систему счисления

С помощью формулы (1) можно перевести числа из любой системы счисления в десятичную систему счисления.

Пример 1. Переводить число 1011101.001 из двоичной системы счисления (СС) в десятичную СС. Решение:

1 ·2 6 +0 ·2 5 +1 ·2 4 +1 ·2 3 +1 ·2 2 +0 ·2 1 +1 ·2 0 +0 ·2 -1 +0 ·2 -2 +1 ·2 -3 =64+16+8+4+1+1/8=93.125

Пример 2. Переводить число 1011101.001 из восьмеричной системы счисления (СС) в десятичную СС. Решение:

Пример 3 . Переводить число AB572.CDF из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную СС. Решение:

Здесь A -заменен на 10, B - на 11, C - на 12, F - на 15.

Перевод чисел из десятичной системы счисления в другую систему счисления

Для перевода чисел из десятичной системы счисления в другую систему счисления нужно переводить отдельно целую часть числа и дробную часть числа.

Целую часть числа переводится из десятичной СС в другую систему счисления - последовательным делением целой части числа на основание системы счисления (для двоичной СС - на 2, для 8-ичной СС - на 8, для 16-ичной - на 16 и т.д.) до получения целого остатка, меньше, чем основание СС.

Пример 4 . Переведем число 159 из десятичной СС в двоичную СС:

159 2
158 79 2
1 78 39 2
1 38 19 2
1 18 9 2
1 8 4 2
1 4 2 2
0 2 1
0

Как видно из Рис. 1, число 159 при делении на 2 дает частное 79 и остаток 1. Далее число 79 при делении на 2 дает частное 39 и остаток 1 и т.д. В результате построив число из остатков деления (справа налево) получим число в двоичной СС: 10011111 . Следовательно можно записать:

159 10 =10011111 2 .

Пример 5 . Переведем число 615 из десятичной СС в восьмеричную СС.

615 8
608 76 8
7 72 9 8
4 8 1
1

При приведении числа из десятичной СС в восьмеричную СС, нужно последовательно делить число на 8, пока не получится целый остаток меньшее, чем 8. В результате построив число из остатков деления (справа налево) получим число в восьмеричной СС: 1147 (см. Рис. 2). Следовательно можно записать:

615 10 =1147 8 .

Пример 6 . Переведем число 19673 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную СС.

19673 16
19664 1229 16
9 1216 76 16
13 64 4
12

Как видно из рисунка Рис.3, последовательным делением числа 19673 на 16 получили остатки 4, 12, 13, 9. В шестнадцатеричной системе счисления числе 12 соответствует С, числе 13 - D. Следовательно наше шестнадцатеричное число - это 4CD9.

Для перевода правильных десятичных дробей (вещественное число с нулевой целой частью) в систему счисления с основанием s необходимо данное число последовательно умножить на s до тех пор, пока в дробной части не получится чистый нуль, или же не получим требуемое количество разрядов. Если при умножении получится число с целой частью, отличное от нуля, то эту целую часть не учитывать (они последовательно зачисливаются в результат).

Рассмотрим вышеизложенное на примерах.

Пример 7 . Переведем число 0.214 из десятичной системы счисления в двоичную СС.

0.214
x 2
0 0.428
x 2
0 0.856
x 2
1 0.712
x 2
1 0.424
x 2
0 0.848
x 2
1 0.696
x 2
1 0.392

Как видно из Рис.4, число 0.214 последовательно умножается на 2. Если в результате умножения получится число с целой частью, отличное от нуля, то целая часть записывается отдельно (слева от числа), а число записывается с нулевой целой частью. Если же при умножении получиться число с нулевой целой частью, то слева от нее записывается нуль. Процесс умножения продолжается до тех пор, пока в дробной части не получится чистый нуль или же не получим требуемое количество разрядов. Записывая жирные числа (Рис.4) сверху вниз получим требуемое число в двоичной системе счисления: 0.0011011 .

Следовательно можно записать:

0.214 10 =0.0011011 2 .

Пример 8 . Переведем число 0.125 из десятичной системы счисления в двоичную СС.

0.125
x 2
0 0.25
x 2
0 0.5
x 2
1 0.0

Для приведения числа 0.125 из десятичной СС в двоичную, данное число последовательно умножается на 2. В третьем этапе получилось 0. Следовательно, получился следующий результат:

0.125 10 =0.001 2 .

Пример 9 . Переведем число 0.214 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную СС.

0.214
x 16
3 0.424
x 16
6 0.784
x 16
12 0.544
x 16
8 0.704
x 16
11 0.264
x 16
4 0.224

Следуя примерам 4 и 5 получаем числа 3, 6, 12, 8, 11, 4. Но в шестнадцатеричной СС числам 12 и 11 соответствуют числа C и B. Следовательно имеем:

0.214 10 =0.36C8B4 16 .

Пример 10 . Переведем число 0.512 из десятичной системы счисления в восьмеричную СС.

0.512
x 8
4 0.096
x 8
0 0.768
x 8
6 0.144
x 8
1 0.152
x 8
1 0.216
x 8
1 0.728

Получили:

0.512 10 =0.406111 8 .

Пример 11 . Переведем число 159.125 из десятичной системы счисления в двоичную СС. Для этого переведем отдельно целую часть числа (Пример 4) и дробную часть числа (Пример 8). Далее объединяя эти результаты получим:

159.125 10 =10011111.001 2 .

Пример 12 . Переведем число 19673.214 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную СС. Для этого переведем отдельно целую часть числа (Пример 6) и дробную часть числа (Пример 9). Далее объединяя эти результаты получим.

СХОЖИЕ СТАТЬИ